Как связать гильбертово пространство с системой QM? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
3 голосов
/

Я не мог найти подходящее название для этого вопроса. Я все еще относительно новичок в QM и пытаюсь понять основы. Я понимаю, что физическая система связана с гильбертовым пространством, где векторы $H$ представляют возможные «состояния» физической системы. Я часто видел в текстах, что эта функция содержит все, что нужно знать о системе.

Таким образом, для частицы, движущейся в пространстве $\mathbb{R}^3$, насколько я могу судить, пространство Гильберта равно $L_2(\mathbb{R}^3)$, пространству интегрируемых в квадрат комплексных функций (называемых волновыми функциями).

Операторы представляют наблюдаемые, эти операторы действуют на волновые функции, поэтому, если волновая функция содержит всю информацию о частице, должен быть, скажем, оператор спина, действующий на эту функцию. Но спин, по-видимому, оправдывает свое собственное гильбертово пространство (это дискретная переменная) и поэтому не представлен в $L_2(\mathbb{R}^3)$.

Так каким образом волновая функция содержит всю возможную информацию о частице? Я должен проанализировать одну и ту же частицу или систему по крайней мере в двух разных гильбертовых пространствах, в зависимости от того, какую наблюдаемую я хочу рассмотреть.

Ответы [ 2 ]

5 голосов
/

Общий вопрос довольно сложен для решения, я думаю, потому что строгая мотивация гильбертова пространства окажется в теории алгебр операторов (см., Например, этот ответ), и ОП, вероятно, не заинтересован в эти аспекты на данный момент.

Что касается примера спина, то гильбертово пространство в этом случае все еще является пространством $L^2$, но функции больше не принимают значения в $\mathbb C$, как в случае скалярных частиц, а в пространстве представления $\mathbb C^2$, так что пространство Гильберта равно $L^2(\mathbb R^3,\mathbb C^2)$. Если $V$ является любым другим пространством представления для неприводимого представления $SU(2)$, то гильбертово пространство, которое описывает преобразование частиц при этом неприводимом представлении группы, будет элементами в $L^2(\mathbb R^3, V)$ (например, $V=\mathbb R^3$ для матриц $SO(3)$).

1 голос
/

Волновая функция содержит всю информацию о системе im, насколько вы ее считаете. Это означает, что каждая качественно различная физическая система нуждается в своем модифицированном гильбертовом пространстве, чтобы соответствовать тому, что может случиться с системой.

Если у вас есть что-то похожее на вращение в $ H_{Spin}$, и вы хотите посмотреть на свободно движущуюся частицу в $H_{free}$, которая тоже вращается. Вы можете объединить пространства Гильберта с тензорным произведением, чтобы взглянуть на объединенные свойства. Новое пространство $ H_{free} \otimes H_{Spin}$ содержит все возможные состояния для движущейся частицы, несущей спин.

Каждое возможное (измеримое) состояние ядра соответствует собственному вектору оператора, который используется в качестве базового вектора. Таким образом, гильбертово пространство чистой неподвижной спиновой частицы (для спина 1/2) имеет два измерения. В то время как свободно движущаяся частица имеет бесконечно возможные состояния, именно поэтому люди говорят, что ей нужно бесконечномерное векторное пространство.

Вы спросили в комментарии, может ли быть что-то еще в пространстве, что-то еще, что вы должны встроить в пространство. И, конечно, вы могли бы. Но это зависит от того, что вы хотите посмотреть.

Сравните это с этим: частица ньютоновской физики никогда не покажет признаков искривления пространства-времени, если вы не встроите такую ​​возможность в теорию. Здесь то же самое, просто нам нужно немного приблизить теорию к каждому случаю, потому что абсолютно общие соображения были бы слишком сложными.

Я рекомендую Sharkar: «Принципы квантовой механики» на Spin для примера спиновой частицы и особенно «1.10. Обобщение на бесконечные измерения» на тему о бесконечномерном функциональном пространстве, лучшее объяснение на интуитивном уровне, которое я еще видел .

И «Последовательная квантовая теория» Гиффита, глава 6 для качественного понимания тензорных произведений: http://quantum.phys.cmu.edu/CQT/

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...