Помогите с аналитическим решением для дисперсионного соотношения упругой волны с волновым вектором k - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Я изучал фононы и колебания решетки и наткнулся на уравнение. Я хочу математическое решение для этого. $$M\frac{d^2u_n}{dt^2}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$

отсюда утверждается, что, поскольку атомы вибрируют в нормальном режиме, все частоты колебаний одинаковы, поэтому предполагается решение вида $e^{i\omega t}$. Мое первое сомнение заключается в том, почему предполагается, что решение имеет такую ​​форму, насколько я знаю из математики, решение должно иметь форму $A_1e^{i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}$.

Таким образом, используя вышеизложенное, мы переходим к следующему шагу, вводя его в двойной дифференциал, и получаем $$-M{\omega}^2{u_n}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$

Тогда говорится, что решением можно считать волновой вектор с вектором $k$ и дополнительным фазовым коэффициентом, который масштабируется линейно с положением плоскости. Это утверждение позволяет ему / ей написать, что $$u_n=ue^{inka}$$, где $a$ - это интервал решетки. Это где я полностью теряю, кто-нибудь может мне помочь с математикой, лежащей в основе выше? Мне действительно нужно, чтобы развить понимание для случая.

В моих попытках решить $$-M{\omega}^2{u_n}=C[u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n]$$ это будет рассматриваться как разностное уравнение второго порядка, и решение будет иметь вид $$u_n={\beta_1}{\lambda_1}^n+{\beta_2}{\lambda_2}^n$$, где $\beta$ и $\lambda$ могут быть определены путем подгонки соответствующие значения в уравнении. Пожалуйста, помогите мне с решением, кто-нибудь.

1 Ответ

1 голос
/
  1. Отсутствие термина $e^{-i \omega t}$ просто потому, что мы используем сложную волновую нотацию . Если вы когда-либо проходили курс электротехники, то там используется то же самое: мы используем $A e^{i \omega t}$ вместо $A \cos (\omega t - \delta)$, с неявным предположением, что нас интересует только реальная часть количества мы выписываем.

  2. Выражение $u_n = u e^{inka}$ равно формы, к которой вы привыкли, вроде: $$ u_n = u (e^{ika})^n.$$ Это один из терминов в вашем общем решении разностного уравнения второго порядка с $\beta_1 = u$ и $\lambda_1 = e^{ika}$. Так что выбор не такой странный, как кажется.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...