Определитель и дополнение $k-\omega^2m$ в пересчете на собственные частоты - физиков.нет
5 голосов
/ 10 декабря 2013

Дана механическая система множественных степеней свободы, описываемая следующими матрицами и уравнением:

  • массовая матрица ${\bf{m}} = \left[\begin{matrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \\ 0 & 0 & m/2 \end{matrix}\right]$,

  • матрица жесткости ${\bf{k}} = \left[\begin{matrix} 2k & -k & 0 \\ -k & 2k & -k \\ 0 & -k & k \end{matrix}\right]$,

  • смещения ${\bf{u}} = \left[\begin{matrix}u_1(t) \\ u_2(t) \\ u_3(t)\end{matrix}\right]$,

  • внешняя сила ${\bf{p}} = \left[\begin{matrix}0\\0\\p_0\sin(\omega t)\end{matrix}\right]$ и

  • уравнение движения ${\bf{m\ddot{u}}}+{\bf{ku}} = \bf{p}$.

Собственные частоты $\omega_i$ были получены из задачи на собственные значения $\det({\bf{k}}-\omega_i^2{\bf{m}})=0$, которая привела к:

$\omega_1^2=(2-\sqrt{3})\frac{k}{m}\,,\,\omega_2^2=2\frac{k}{m}\,,\,\omega_3^2=(2+\sqrt{3})\frac{k}{m}$.

Я знаю, что стационарное решение для $\bf{u}$ равно

${\bf{u}}=\frac{1}{\det({\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}})}\rm{adj}({\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}})\,\bf{p}$

поэтому я должен вычислить определитель и адъюгат. На самом деле у меня нет проблем с этим, но решение для учебника выглядит намного элегантнее, чем у меня, и я не знаю, как туда добраться.

Мое решение:

$\det({\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}}) = \frac{1}{2}(2k-\omega^2m)^3-3k^3$

${\rm{adj}}({\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}}) = \left[\begin{matrix} \dots & \dots & k^2 \\ \dots & \dots & k(2k-\omega^2m) \\ \dots & \dots & (2k-\omega^2m)^2-k^2 \end{matrix}\right]$ (только третий столбец относится к решению)

Учебное решение:

$\det({\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}}) = \frac{1}{2}m^3(\omega_1^2-\omega^2)(\omega_2^2-\omega^2)(\omega_3^2-\omega^2)=k^3(1-\frac{\omega^2}{\omega_1^2})(1-\frac{\omega^2}{\omega_2^2})(1-\frac{\omega^2}{\omega_3^2})$

${\rm{adj}}({\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}}) = \left[\begin{matrix} \dots & \dots & 1 \\ \dots & \dots & 2(1-\omega^2/\omega_2^2) \\ \dots & \dots & 4(1-\omega^2/\omega_2^2)^2-1 \end{matrix}\right]k^2$

Мой вопрос: как я могу получить решение для учебника, которое написано в терминах собственных частот? Мне кажется, что есть какой-то способ выразить ${\bf{k}}-\omega^2{\bf{m}}$ в основном в терминах собственных частот, и тогда я мог бы перейти оттуда, но я не знаю, как мне это сделать.

Ответы [ 2 ]

1 голос
/ 18 мая 2016

Я подозреваю, что вы ошеломлены множеством переменных, которые скрывают фундаментальную циклометрическую симметрию задачи. Вы можете масштабировать все, кроме одного, из симметричной матрицы M , часть (симметричного) обратного которой вы ищете, действительно, переопределив $${\bf{M}} \equiv {\bf{k}}-\omega^2 {\bf{m}}= -k \left[\begin{matrix} 2(x-1) & 1 & 0 \\ 1 & 2(x-1) & 1 \\ 0 & 1 & x-1 \end{matrix}\right], $$ где $x\equiv\frac{\omega^2 m}{2k}$.

Циклометрическая (Mercedes-Benz) симметрия его собственных значений становится очевидной из ее простого детерминанта, как только вы узнаете формулу тройного угла для синуса в нем, $\det {\bf M}= - k^3 (x-1)(4(x-1)^2-3)= - k^3 (x-1)(x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2})$, отображающую синусы 3 корней единства. Этот результат полезен только при выделении кубического полинома из обратного M , что, как вы знаете, возможно, так как адъютат, adj M = det M M $^{-1}$ - это многочлен от x , а не отношение многочленов.

Тем не менее, проще просто найти 3-й столбец обратного (который является всем, что вам нужно для вашего решения), решив три тривиальных условия: просто 3-й столбец ${\bf M ~ M}^{-1}={\bf I}$. Вы знаете из приведенного выше обсуждения, что ваш ответ должен иметь обратный коэффициент $(x-1)(x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2})$, суммирующий резонансы системы, которые он проверен; и транспонирование этого 3-го столбца адъютата просто $k^2 (1, 2(1-x), 4(1-x)^2-1)$, которое является просто выражением вашего учебника, и, конечно, ваше, как только корни определителя, нули, подключены. Последняя запись $k^2((x-1-\frac{\sqrt{3}}{2}) (x-1+\frac{\sqrt{3}}{2}) +2)$ , конечно.

Несмотря на то, что, как утверждает Кайл Канос в комментарии, это является строго линейной проблемой алгебры, все же используемые методы симметрии и используемая методология - это хлеб с маслом физики, и вполне можно утверждать, что физики обычно быстрее, если нет лучше справляться с ними.

Академическое излишество PS : Если, за рамками вашей проблемы, вас интересует полное обратное, здесь бесполезное, вам нужно использовать только тригонометрическое наблюдение, приведенное выше, и изменить переменные в последний раз $x-1\equiv \sin \phi $, тот, который по существу продиктован циклометричностью проблемы. Тогда легко заметить, что адъютат действительно элегантен, $${\bf{I}} = \left[\begin{matrix} 2\sin \phi & 1 & 0 \\ 1 & 2\sin \phi & 1 \\ 0 & 1 & \sin \phi \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -\cos (2\phi) & -\sin \phi & 1 \\ -\sin \phi & 2\sin^2 \phi & -2\sin \phi \\ 1 & -2\sin \phi & 1-2\cos(2\phi) \end{matrix}\right] ~ {\Large /}\sin (3\phi), $$ который, конечно, содержит ответ выше.

1 голос
/ 10 декабря 2013

Определитель довольно легко рассчитать. Вы уже знаете, по существу, собственные значения матрицы жесткости; точнее, вы знаете собственные значения матрицы $\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}$, потому что $\omega_i$ являются нулями уравнения $$0=\det(\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}-\omega^2).$$ (Более эстетически настроенный заменит $\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}$ на $\mathbf{m}^{-1/2}\mathbf{k}\,\mathbf{m}^{-1/2}$, чтобы получить эрмитову матрицу, но не важно.) Если вы выразите второй определитель в соответствующем собственном базисе, вы $$ \det(\mathbf{k}-\mathbf{m}\,\omega^2)=\det(\mathbf{m})\det(\mathbf{m}^{-1}\mathbf{k}-\omega^2) =\frac{m^3}2\det\begin{pmatrix} \omega_1^2-\omega^2 & 0 & 0 \\ 0 & \omega_2^2-\omega^2 & 0 \\ 0 & 0 & \omega_3^2-\omega^2 \end{pmatrix}, $$ который дает выражение вашего учебника. В более общем смысле это выражение принципа, согласно которому определитель матрицы является произведением ее собственных значений.


Дополнение, с другой стороны, (насколько мне известно) не удовлетворяет никаким таким хорошим отношениям; в любом случае, это неприятный зверь, и я думаю, что немногие люди разумно подставляют определение $k=m\omega_2^2/2$ из $\omega_2$ вместо $k$.

...