Каково оптимальное направление ожога для снижения периапсиса гиперболической орбиты? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
10 голосов
/

Я студент инженерного факультета, который интересуется орбитальной механикой. Я занимаюсь самообучением перед тем, как в следующем году пройти курсы орбитальной механики. Я изучал различные типы орбит (эллиптические, параболические, гиперболические и т. Д.) И последствия горения в различных направлениях. Я нашел много полезной информации о том, как управлять эллиптическими орбитами (повышение / понижение апо / периапсиса, изменение наклонов и т. Д.).

Однако я не нашел много информации о манипулировании гиперболической траекторией. Я нашел много полезной информации , подобной этой при расчете различных параметров (ударный параметр, угол поворота и т. Д.), Но мало подробностей о том, как ее изменить.

Например, скажем, вы были на гиперболическом пролете, как в этом примере . Однако по какой-то причине вы хотели уменьшить свой радиус при периапсисе на пару сотен километров (провести некоторые измерения, увеличить угол поворота и т. Д.). Какое будет наиболее эффективное направление для сжигания? Я мог видеть, как это делается двумя разными способами, но не уверен, что будет более эффективным. Вы можете сгореть ретроградно, уменьшив свою скорость, что приблизит вас к планете. Или вы можете сжечь перпендикулярно вашему текущему вектору скорости в направлении планеты, меняя угол вашего приближения? Возможно какая-то комбинация из 2?

Кто-нибудь знает, как определить, что будет наиболее оптимальным?

1 Ответ

6 голосов
/

Если вы посмотрите на эту проблему в 2D, в какой-то момент у вас появятся следующие параметры, которые описывают вашу траекторию (положение и скорость) вокруг небесного тела с гравитационным параметром $\mu$, радиусом $r$, радиальной скоростью $v_r$ и тангенциальная скорость $v_t$. Есть и несколько других, но они не имеют большого значения в этой проблеме из-за симметрии.

Вы можете рассчитать радиус вашего периапсиса , используя уравнения для большой полуоси и эксцентриситета , которые при выражении в $\mu$ $r$, $v_r$ и $v_t$ выглядят как

$$ a = \frac{\mu r}{2\mu - \left(v_r^2 + v_t^2\right) r}, \tag{1} $$

$$ e = \sqrt{1 + \frac{\left(v_r^2 + v_t^2\right) r}{\mu} \left(\frac{v_t^2 r}{\mu} - 2\right)}, \tag{2} $$

$$ r_{pe} = a (1 - e), \tag{3} $$

с $a$ большой полуосью, $e$ эксцентриситет и $r_{pe}$ периапсис.

Теперь, если вы вычислите общую производную по времени периапсиса, она должна быть равна нулю, если никакая другая внешняя сила не применяется, кроме ньютоновской гравитации, потому что без возмущений каждый орбитальный элемент должен оставаться постоянным,

$$ \frac{d p_{pe}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \dot{v}_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \dot{v}_t = 0, \tag{4} $$

, где $\dot{v}_r$ и $\dot{v}_t$ - производные по времени от $v_r$ и $v_t$ соответственно, что совпадает с компонентами вектора чистого ускорения.

Если теперь вы применяете дополнительную силу / ускорение, сжигая двигатели под углом $\phi$ относительно тангенциального направления, как показано на рисунке ниже, уравнение $(4)$ теперь не обязательно будет равно нулю.

illustration of the burn direction relative to the escape orbit.

Величина дополнительного ускорения составляет $f$. При применении этого ускорения и использовании этого уравнения $(4)$ равно нулю, производная по времени от $r_{pe}$ становится равной

$$ \frac{d p_{pe,f}}{dt} = \frac{\partial r_{pe}}{\partial r} v_r + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \left(\dot{v}_r - f \sin\phi\right) + \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \left(\dot{v}_t + f \cos\phi\right) = f \left(\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \cos\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \sin\phi\right). \tag{5} $$

Вы хотите знать, для какого угла $\phi$ значение производной по времени от $r_{pe,f}$ становится наибольшим. Это можно сделать, дифференцируя его по $\phi$ и решив для него, когда вы установите полученное уравнение равным нулю.

$$ \frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{d p_{pe,f}}{dt}\right) = f \left(-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t} \sin\phi - \frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r} \cos\phi\right) = 0, \tag{6} $$

решение для $\phi$ урожайности,

$$ \phi = \tan^{-1}\left(\frac{-\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_r}}{\frac{\partial r_{pe}}{\partial v_t}}\right). \tag{7} $$

Единственная запутанная часть этого решения - вычисление частных производных $r_{pe}$.

Когда я пытаюсь решить ее для вашего примера, я получаю угол -3,2544 °, очень близкий к тангенциальному направлению, который уменьшает момент импульса орбиты, но также близок к перпендикуляру текущей скорости, потому что лучевая скорость больше, чем тангенциальная скорость.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...