Почему условие фиксации калибровки в лагранжиане КЭД возводится в квадрат? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
5 голосов
/

Рассмотрим свободный максвелловский лагранжиан:

$$L= -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. $$

Как мы знаем, калибровочная симметрия $A_{\mu} \rightarrow A_{\mu}+\partial_\mu \lambda$ должна быть зафиксирована при квантовании теории. Рассмотрим случай, когда мы делаем это ковариантно, используя калибровку Лоренца. Это делается путем добавления термина, фиксирующего калибровку, к лагранжиану следующим образом:

$$L_{gf} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\alpha}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2.$$

Теперь я понимаю, как этот дополнительный термин помогает нам наложить $\partial_\mu A^\mu = 0$. В самом деле, мы можем видеть это, например, как множитель Лагранжа, а изменение нединамического $\alpha$ приводит к желаемому условию.

В некоторых других выводах, использующих, например, интеграл по путям, он получается приблизительно путем интегрированиядатчик, фиксирующий Дирака $\delta$ на всех возможных датчиках, с некоторым «взвешенным интегралом» (см. Пескин и Шредер, стр. 296): $$ =\int \mathcal{D}\omega \exp{\left(-i\int d^4x\mbox{ }\alpha\frac{\omega^2}{2}\right)}\delta(\partial_{\mu} A^\mu-\omega(x)) = \exp{\left(-i\frac{\alpha}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2\right)}$$

, который приводит к добавлению одного и того же члена для фиксации датчика кэффективный лагранжиан.

Моя проблема в обоих случаях (и во всех других выводах, которые я видел для этого термина, фиксирующего калибровку), состоит в том, что мы делаем что-то, что выглядит как произвольный выбор. Чтобы быть более точным, в случае, когда мы рассматриваем этот дополнительный термин как множитель Лежандра, почему бы не выбрать что-то вроде $\frac{\alpha}{2}\partial_\mu A^\mu$? Кто-то может поспорить, что с этим термином лагранжиан будет неограничен снизу, что дает плохую теорию.

Что же тогда с термином типа $\frac{\alpha}{2}(\partial_\mu A^\mu)^4$? Опять же, мы можем сказать, что этот термин «запрещен», потому что он имеет порядок 4 в производных, и это может снова создать проблемы в теории.

Действительно ли это единственные причины, по которым мы выбираем эту конкретную форму для термина фиксации датчика? У меня сложилось впечатление, что должно быть что-то более простое, определяющее форму термина, фиксирующего калибровку.

Опять же, в формулировке интеграла по траектории мы имеем, казалось бы, произвольный выбор веса, с которым мы выполняем$\mathcal{D}\omega$ интеграл. Опять же, у нас есть некоторые аргументы, такие как «мы взвешиваем гауссову, чтобы обеспечить конвергенцию» или что-то в этом роде, но для меня это не очень убедительно.

Так есть ли глубокий способ объяснить форму этого термина, или это просто обоснованное предположение, которое оказывается полезным?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...