Вопросы о распределении Ферми-Дирака на $T=0.$ - физиков.нет
Купить гитару в Москве
2 голосов
/

В моей книге ( Даниэль В. Шредер - Введение в теплофизику ) на странице 267 они вводят распределение Ферми-Дирака как

$$\bar{n}_{FD}=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/kT}+1}. \tag{1}$$

Но несколькими страницами позже они утверждают, что распределение Ферми-Дирака становится ступенчатой ​​функцией, а затем приступают к определению энергии Ферми как

$$\epsilon_F=\mu(T=0).$$

Вопросы:

1) Как $\bar{n}_{DF}$ становится степ-функцией в $T=0$? Его даже невозможно подключить к распределению, так как тогда мы делим на ноль.

2) Выражение для химического потенциала $\mu$ задается как

$$\mu=-kT\ln{\frac{Z_1}{N}},$$

, где $N$ - количество частиц, а $Z_1$ - функция разделения для любой отдельной частицы. Так что установка $T=0$ должна просто дать $\epsilon_F=\mu=0$. Но это, очевидно, не тот случай. Почему?

1 Ответ

3 голосов
/

1) Да. Эти кривые (например) были вычислены с помощью Mathematica с $T$ очень маленьким, приближающимся к нулю, но все еще конечным. enter image description here

Обсуждение предела:

$$ \lim_{T\rightarrow 0} \frac{1}{e^{\delta/T}+1},$$, где $\delta = (E-\mu)/k_B$.

Если $E>\mu$, то $\delta >0$ и $\delta/T \rightarrow +\infty$, следовательно, $e^{\delta/T} \rightarrow \infty$ и $f=0$.

Если $E<\mu$</span>, то $\delta <0$</span> и $\delta/T \rightarrow -\infty$, следовательно $e^{\delta/T} \rightarrow 0$ и $f=1$.

2) Я не знаю точно, откуда взялась ваша формула, но обычно вы делаете расширение с $E_F \gg k_BT$, как в здесь . Это потому, что вы никогда не рассматриваете частицу с энергией $\epsilon = E_F$, а с $\epsilon = E_F + k_B T$.

. Кроме того, $Z$ для невзаимодействующих фермионов: $$ Z = \sum_{n=0}^1 r^n = 1+r,$$, где $r= \exp \left (-\frac{\epsilon - \mu}{k_B T} \right ) $, что также зависитпо температуре.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...