Существует ли вторая / много порядковая форма бесконечно малого унитарного оператора в квантовой механике? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Существует ли вторая / много порядковая форма бесконечно малого унитарного оператора в квантовой механике?

Мы знаем, что унитарно преобразованная система должна быть инвариантной, т. Е. $\langle\psi|\psi\rangle = (\langle\psi|\hat{U}^{\dagger}) (\hat{U}|\psi\rangle) = \langle\psi|\hat{U}^{\dagger} \hat{U}|\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle \implies \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = \hat{I}$

Предполагая, что $ \hat{T}(\delta x) = \hat{I} +i\hat{G}_T\delta x $ (что часто делается), где $\hat{T}$ является нашим унитарным оператором, а $\hat{G}_T$ является нашим эрмитовым генератором, мы должны также принудительно применить $ \hat{T}(\delta x)\hat{T}^{-1}(\delta x) =\hat{I}$. Затем мы можем сказать, что $\hat{T}^{-1} = \hat{T}^\dagger \because \hat{U}^{\dagger} \hat{U} = \hat{I}$

Применение всего этого приводит к: $\hat{T}(\delta x)\hat{T}^{-1}(\delta x) = (\hat{I} +i\hat{G}_T\delta x)(\hat{I} -i\hat{G}_T^\dagger\delta x) = \hat{I}^2 + i\delta x(\hat{G}_T-\hat{G}_T) + (\delta x)^2\hat{G}_T^2 = \hat{I}+(\delta x)^2\hat{G}_T^2$.

Предполагая, что $(\delta x)^2 \approx 0 $, $\hat{T}(x) = \lim_{n\to \infty} (\hat{T}(\frac{x}{n}))^n = \lim_{n\to \infty}(\hat{I} +i\hat{G}_T\frac{x}{n})^n = e^{ix\hat{G}_T }$, что является обычным способом записи конечногоунитарное преобразование. Исходя из этого, я думаю, что можно показать, что генератор представляет собой сохраняющуюся величину.

Чтобы это было согласованно, мы должны предположить, что член $(\delta x)^2$ пренебрежимо мал (то есть мы принимаем это только в первый порядок). Почему это математически оправданное утверждение?

Если нет, то существует ли определение второго порядка или множества порядков унитарного оператора? Кроме того, что может быть подразумеваемым конечным унитарным оператором из бесконечно малого оператора второго порядка?

Или же этот унитарный оператор определяется не из его бесконечно малого, а из его конечного экспоненциального определения?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...