Зачем нам нужна конформная компактификация для определения глобальной конформной группы? - физиков.нет
4 голосов
/ 20 октября

Сначала у меня есть определение конформной карты. Пусть $(M,g)$ и $(M',g')$ - два псевдоримановых многообразия одной размерности. Пусть $U\subset M$ и $V\subset M'$, мы говорим, что гладкая карта максимального ранга $\Phi : U\to V$ является конформной картой, если существует некоторая гладкая $\Omega : U\to [0,+\infty)$ такая, что $$\Phi^\ast g'=\Omega^2 g.\tag{1}$$

Теперь, интуитивно я бы вообразилчто под глобальным конформным преобразованием подразумевается просто глобально определенный $\Phi : M\to M'$.

Моя интуиция сказала бы, что для определения глобальной конформной группы из $M$ нам просто нужно взять все глобально определенные конформные диффеоморфизмы $\Phi : M\to M$.

Тем не менее, обычно здесь вводится конформная компактификация. Возьмем, к примеру, этот пост Phys.SE, а точнее книгу М. Шоттенлохера "Математическое введение в конформную теорию поля". Канонической ссылкой, использующей тот же подход, является статья Пенроуза "Релятивистские группы симметрии".

Все эти авторы говорят о $(M,g) = \mathbb{R}^{p,q}$. Чтобы определить глобальную конформную группу, они выбирают $\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$ конформную компактификацию и определяют $\operatorname{Conf}(p,q)$ группу глобально определенных конформных преобразований в ней.

Почему это так? Почему бы просто не определить $\operatorname{Conf}(p,q)$ как группу глобально определенных конформных диффеоморфизмов на самом $\mathbb{R}^{p,q}$, т. Е. Отображений $\Phi : \mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$, удовлетворяющих уравнению. (1) с каноническим метрическим тензором? Зачем переходить на конформную компактификацию?

1 Ответ

3 голосов
/ 21 октября

Для начала, несколько конформных преобразований, например, специальные конформные преобразования, принимают конечные точки от $p\in M$ до $\infty\notin M$, что технически нарушает предложенное ОП определение.

Для евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ конформная компактификация $\overline{\mathbb{R}^n}$ представляет собой просто реальное проективное пространство $\mathbb{P}_n(\mathbb{R})$, что указывает на то, что $\infty$ следует рассматривать наравне с другими точками,

Понятие бесконечности становится более тонким в случае неопределенной метрики, и конформная компактификация помогает решить эту проблему.

...