Как на самом деле работает калибровка? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Оставляя в стороне технические проблемы, такие как копии Грибова и свободу остаточных датчиков, как условия фиксации датчика, такие как условие Кулона \begin{equation} \partial_i A_i =0 \end{equation} или осевое условие \begin{equation} A_3 =0 \end{equation}, помогают избавиться от избыточности датчика?

Первая идея заключается в том, что подобные условия помогают нам исправить калибровочную функцию $\eta(x_\mu)$. До того, как будет произведена фиксация датчика, у нас есть свобода использования различных конфигураций $A_\mu$ для описания одной и той же физической ситуации, связанной с $$A_\mu (x_\mu) \to A'_\mu \equiv A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu ).$$ Если мы подключим $A'_\mu$ к состоянию датчика, например кулоновскому условию, мы можем вывестиan для калибровочной функции $\eta(x_\mu$): \begin{align} 0 &=\partial_i A'_i \\ &= \partial_i A_i (x_\mu) + \partial_i \eta(x_\mu ) \\ \to \partial_i \eta(x_\mu ) &= -\partial_i A_i (x_\mu) \tag{1} \end{align} Если теперь мы используем конкретное решение уравнения движения $A_\mu$, мы можем решить это уравнение, чтобы найти конкретную калибровочную функцию $\eta(x_\mu )$. Но почему это вообще полезно, если нет ничего, что указывает на то, что $A_\mu$, мы должны поставить в правой части уравнения. 1?

В более конкретных терминах, скажем, у нас есть решение уравнения движения $A_\mu$ и другая конфигурация $A'_\mu$, связанная с $A_\mu$ калибровочным преобразованием. Моя проблема в том, что даже если мы выберем одну конкретную калибровочную функцию $\eta$, у нас все еще нет понятия, следует ли нам использовать $A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu )$ или $A'_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu )$, и, таким образом, избыточность датчика все еще там. В конце концов, ничто не говорит нам о том, что $A'_\mu$ не является «исходным» решением уравнения движения, а $A_\mu$ - только его преобразованная по калибровке версия.

Ответы [ 2 ]

1 голос
/

Оставляя в стороне технические проблемы, такие как копии Грибова и свободу остаточного датчика, как условия фиксации датчика, такие как условие Кулона $∂_? ?_?=0$ или осевое условие $?_3=0$, помогают избавиться от избыточности датчика?

Поскольку существует огромное количество полей $A_\mu$, которые удовлетворяют определяющему уравнению $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = F_{\mu \nu}$ (где $F_{\mu \nu}$ определяется однозначно физически), существует намного меньшее (хотя все еще бесконечное) количество полей $A_\mu$, которые удовлетворяют этому уравнению, а также решают уравнения фиксации частичной калибровки, которые вы перечислили выше. Иногда это сужение полезно, иногда нет - это зависит от ситуации. Например, ковариантная версия двух исходных уравнений Максвелла принимает более простую математическую форму в калибровке Лоренца, чем в произвольной калибровке. Но эти условия частичной фиксации калибровки сами по себе не определяют уникальное поле $A_\mu$.

Первая идея заключается в том, что подобные условия помогают нам исправить калибровочную функцию $\eta(x_\mu)$. До того, как будет произведена фиксация датчика, у нас есть свобода использования различных конфигураций $A_\mu$ для описания одной и той же физической ситуации, связанной с $$A_\mu (x_\mu) \to A'_\mu \equiv A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu ).$$ Если мы подключим $A'_\mu$ к состоянию датчика, например кулоновскому условию, мы можем вывестиan для калибровочной функции $\eta(x_\mu$): \begin{align} 0 &=\partial_i A'_i \\ &= \partial_i A_i (x_\mu) + \partial_i \eta(x_\mu ) \\ \to \partial_i \eta(x_\mu ) &= -\partial_i A_i (x_\mu) \tag{1} \end{align} Если теперь мы используем конкретное решение уравнения движения $A_\mu$, мы можем решить это уравнение, чтобы найти конкретную калибровочную функцию $\eta(x_\mu )$. Но почему это вообще полезно, если нет ничего, что определяет, что $A_\mu$, мы должны поставить в правой части уравнения. 1?

Вы правы, не существует уникальной функции перехода $\eta$, которая перенесет вас, скажем, в кулоновский датчик - это зависит от того, с какого $A_\mu$ вы начали. То, как вы доберетесь до Кулоновского манометра, зависит от того, откуда вы начинаете, также как от того, как добраться до Чикаго, зависит от того, стартуете ли вы из Бостона или Сиэтла. На практике вы просто начинаете с абсолютно случайного выбора $A_\mu$, затем решаете приведенное выше уравнение, чтобы найти соответствующий $\eta$, затем добавляете градиент этого $\eta$ к исходному $A_\mu$, чтобы сформировать * 1033. *, тогда вы можете полностью забыть о своих оригинальных $A_\mu$ и $\eta$.

Если говорить более конкретно, скажем, у нас есть решение уравнения движения $A_\mu$ и другая конфигурация $A'_\mu$, что связано с $A_\mu$ калибровочным преобразованием. Моя проблема в том, что даже если мы выберем одну конкретную измерительную функцию $\eta$, у нас все еще нет понятия, следует ли нам использовать $A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu )$ или $A'_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu )$, и, таким образом, избыточность датчика все еще там. В конце концов, ничто не говорит нам о том, что $A'_\mu$ не является «исходным» решением уравнения движения, а $A_\mu$ - только его преобразованная по калибровке версия.

Вы неt «выбрать одну конкретную функцию [перехода] $\eta$» заранее, чтобы выполнить калибровку. Выбор функции перехода по своей природе зависит от вашего (произвольного) начального поля и поэтому сам по себе довольно произвольный.

0 голосов
/

Моя проблема в том, что даже если мы выберем одну конкретную калибровочную функцию $\eta$, у нас все еще нет понятия, следует ли нам использовать $A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu )$ или $A'_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu )$, и, таким образом, избыточность датчика все еще существует. В конце концов, ничто не говорит нам о том, что $A'_\mu$ не является «исходным» решением уравнения движения, а $A_\mu$ - только его преобразованная по калибровке версия.

Точно, нет ничего, что подсказывало бы вам использовать определенное крепление датчика. В физике вы не можете делегировать все в математику или какой-то другой принцип, иногда вы должны сделать выбор .

Как и при выборе системы координат, не существует математического принципа, который говорит вам, что вы должны использовать сферические координаты для вычисления объема сферы, вы можете вычислить его в декартовых координатах, если хотите, и будетничего плохого в этом нет.

То же самое относится и к фиксации датчика, вы можете вычислить все, что вы хотите, в любом приборе, который вы хотите, но вы решаете какой датчик лучше всего подходит для этого, и это может зависеть от случая додело и на ваш личный вкус.

Физика не меняется независимо от того, какой датчик вы выберете, фиксация датчика - это просто инструмент, полезный для вычисления физических величин, другими словами, если вы не исправите датчик, вы не сможете ничего вычислить. интересно.

В заключение, не существует оригинального решения уравнения движения, уравнения движения калибровочно-инвариантны, что означает, что им удовлетворяет весь класс потенциалов, связанных с калибровочными преобразованиями, онивсе одного уровня, нет оригинального и трансформированного.

Теперь давайте проанализируем ваш случай более практично: Кулоновский индикатор

$$ \partial_k A^k = 0 \, ; \quad A_0 = 0 $$

однозначнофиксирует 4-векторный потенциал, потому что 0-й компонент выбран равным нулю, а другое условие, как вы можете видеть, фиксирует 3-дивергенцию пространственной части: $ \nabla \cdot {\bf A} = 0$.

. может знать, что уравнения Максвелла фиксируют скручивание ${\bf A}$ и Теорема Гельмгольца о разложении говорит вам, что 3-вектор полностью описывается его скручиваемостью и его дивергенцией, поэтому фиксирует расхождение 3-векторного потенциала, который вы исправилион и однозначно выбрал потенциал из бесконечных возможностей, которые у вас были: вы исправили датчик.

Как сторона, нет, ГельмТеорема разложения oltz является причиной, по которой уравнения Максвелла даны в терминах скручиваемости и расходимости электрических и магнитных полей, потому что как только вы узнаете их скручиваемость и их расходимость, вы узнаете поля, поэтому вам не нужно больше, чемдва уравнения для каждого поля.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...