Как найти вероятность состояния из невырожденного спектрального разложения - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Я только начал изучать темы эволюции времени в квантовой механике, и у меня возникают проблемы с пониманием того, как рассчитать вероятности определенных собственных значений оператора в более позднее время.

В моем учебнике есть такой пример: Для квантовой системы с гамильтонианом $H$ и оператором $A$ со спектральным разложением, заданным $$A = \sum_n a_n \lvert \psi_n \rangle \langle \psi_n \rvert \, .$$ Система изначально находится в собственном состоянии $|\psi\rangle$ из $A$, с собственным значением $a_n$. $H$ и $A$ не коммутируют. После времени θ вероятность получения собственного значения $a_n$ определяется как $$w_{nn}(\theta) \approx 1 - (\Delta E)_n^2 \, \theta^2 \, .$$. Я совершенно не понимаю, как это уравнение выводится. Моя попытка получить это будет начинаться с $|\langle\psi_n|\psi_n\rangle|^2$, так как это дает вероятность того, что система находится в том же начальном состоянии, но я не уверен, что этот подход верен для эволюционирующих во времени систем. Я также заметил θ в уравнении, что наводит меня на мысль, что задействован оператор эволюции времени $U$ $$U = \exp(-i H t / \hbar) \, .$$ Может ли кто-нибудь дать объяснение или понять, как в этом случае рассчитываются измерения?

1 Ответ

0 голосов
/

Хорошо, как мы могли бы найти вероятность нахождения в том же начальном состоянии (скажем, $|\psi_n\rangle$) следующим образом: $$P(|\psi_n\rangle, t) = |\langle\psi_n| \Psi \rangle|^2$$, где $|\Psi\rangle = e^{-i H t}|\psi_n \rangle$. Физически вы должны думать об этом выражении так: я нахожу проекцию моего квантового состояния в момент времени $t$ на мое начальное состояние, которое дает вероятность измерения моего начального состояния. Теперь мы можем сделать простое вычисление: $$P(|\psi_n\rangle, t) = |\langle\psi_n|e^{-i H t}|\psi_n \rangle|^2 \approx |\langle\psi_n| 1- i H t - \frac{1}{2} H^2 t^2|\psi_n \rangle|^2 \approx | 1 - i \langle E \rangle - \frac{1}{2} \langle E^2\rangle t^2|^2 $$ $$\approx 1 - \langle E^2 \rangle t^2 - \langle E\rangle ^2 t^2 \approx 1 - \langle \Delta E^2\rangle t^2 $$ Обратите внимание, что это короткое временное приближение, где "short" задается характеристической шкалой энергии.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...