Потенциал раствора атома водорода лапласиана: отсутствует граничное условие для фиксации постоянной интегрирования $c_1$ - физиков.нет
1 голос
/ 19 октября

У меня следующая проблема:

Я хочу вычислить классический потенциал $\phi(r)$ атома водорода в его основном состоянии.
Плотность заряда известна: $$\rho(r)=\frac{-e_{0}}{\pi a^3}e^{-\frac{2r}{a}}$$, где $a$ - радиус Бора, $e_{0}$ - элементарный заряд и $r$ - расстояние от атома водорода.


Мой подход: я использую уравнение Лапласа в сферических координатах, приводящее к: $$\Delta\phi=-4\pi\rho(r)$$ $$\frac{\partial^2\phi}{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial\phi}{\partial r }=\frac{4e_{0}}{a^3} e^{-\frac{2r}{a}}$$

, используя уменьшение порядка, общее решение:

$$\phi(r)=\frac{e_{0}}{r}e^{-\frac{2r}{a}}+\frac{e_0}{a}e^{-\frac{2r}{a}}+\frac{c_1}{r}+c_2.$$ Если я установлю $\phi(\infty)=0$ мы получаем, что $c_2=0$.
Меня беспокоит то, что я не знаю, что мне делать с $c_1$.
Я предполагаю, что может быть граничное условие, о котором я не знаю,
Буду признателен за любую помощь.

1 Ответ

1 голос
/ 19 октября

Подсказка: по сферической симметрии электрическое поле $E_r=-\frac{d\phi}{dr}$ должно исчезнуть при $r=0$, что приводит к $c_1=-e_0$.

...