Почему условие кулоновской калибровки $\partial_i A_i =0$ выбирает ровно одну конфигурацию из каждого класса эквивалентности калибровки? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
2 голосов
/

Существует бесконечно много конфигураций векторного поля $A_\mu$, которые описывают одну и ту же физическую ситуацию. Это результат нашей свободы измерений $$ A_\mu (x_\mu) \to A'_\mu \equiv A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu ),$$, где $\eta (x_\mu)$ - произвольная скалярная функция.

Следовательно, каждая физическая ситуация может быть описана классом эквивалентности конфигураций. Все члены в пределах данного класса эквивалентности связаны калибровочным преобразованием. Конфигурации в разных классах эквивалентности описывают физически различные ситуации и поэтому не связаны калибровочными преобразованиями.

Чтобы исправить калибровку, нам нужно выбрать ровно один член из каждого такого класса эквивалентности. Популярный способ сделать это - потребовать \begin{equation} \partial_i A_i =0 \, . \end{equation} Очевидно, это работает, потому что в каждом классе эквивалентности есть только один член, который удовлетворяет этому дополнительному условию. Как это можно показать и понять?

PS: Я недавно задал очень похожий вопрос недавно, но сделал опечатку в условии калибровки (датчик Лоренца вместо датчика Кулона). Конечно, условие калибровки Лоренца оставляет остаточную свободу калибровки, в то время как кулоновская калибровка является физической калибровкой.

1 Ответ

2 голосов
/

Кулоновский датчик фактически также оставляет свободу остаточного датчика, так же, как датчик Лоренца. Это еще один пример неоднозначности Грибова , упомянутой в моем ответе на другой вопрос. В общем, любое условие фиксации калибровки, определяемое линейным дифференциальным уравнением в частных производных, будет иметь неоднозначность Грибова, соответствующую ядру дифференциального оператора, если только вы не укажете достаточно граничных условий для определения уникальной конфигурации поля калибровки.

Например, в случае кулоновской калибровки имеет место почти та же история, что и в случае калибровки Лоренца: два различных, но физически эквивалентных калибровочных поля $A_\mu$ и $A_\mu' = A_\mu + \partial_\mu \eta$ равны и в кулоновской калибровке if (a) любой из них является и (б) функция перехода $\eta$ удовлетворяет уравнению Лапласа $\partial_i \partial_i \eta = \nabla^2 \eta \equiv 0$ для всех времен, так что $\eta$ является гармонической функцией. Поскольку на $\mathbb{R}^n$ имеется бесконечно много гармонических функций, в кулоновской калибровке имеется бесконечно много калибровочных полей, соответствующих данной конфигурации электромагнитного поля.

Как и раньше, решение состоит в том, чтобы наложить подходящие граничные условия для выводавниз по оставшейся свободе колеи. В ситуациях, когда все источники ограничены конечной пространственной областью, естественное граничное условие для наложения состоит в том, что калибровочные поля стремятся к нулю на пространственной бесконечности. Это приводит к обычным формулам типа закона Био-Савара и закона Кулона для калибровочных полей в терминах мгновенных источников с пространственным спадом $1/r$. Но в ситуациях, когда источники бесконечно расширены, не всегда существует уникальный естественный выбор фиксации калибровки, и вам нужно просто произвольно выбрать один. Например, для бесконечно долго, равномерно заряженного провода, вам нужно просто выбрать произвольное опорное расстояние, при котором электрический потенциал становится равным нулю.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...