Почему условие калибровки Лоренца $\partial_\mu A^\mu =0$ выбирает ровно одну конфигурацию из каждого класса эквивалентности датчика? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
2 голосов
/

Для векторного поля $A_\mu$ существует бесконечно много конфигураций, описывающих одну и ту же физическую ситуацию. Это результат нашей свободы измерений $$ A_\mu (x_\mu) \to A'_\mu \equiv A_\mu (x_\mu) + \partial_\mu \eta(x_\mu ),$$, где $\eta (x_\mu)$ - произвольная скалярная функция.

Следовательно, каждая физическая ситуация может быть описана классом эквивалентности конфигураций. Все члены в пределах данного класса эквивалентности связаны калибровочным преобразованием. Конфигурации в разных классах эквивалентности описывают физически различные ситуации и поэтому не связаны калибровочными преобразованиями.

Чтобы исправить калибровку, нам нужно выбрать ровно один член из каждого такого класса эквивалентности. Популярный способ сделать это - потребовать \begin{equation} \partial_\mu A^\mu =0 \, . \end{equation} Очевидно, это работает, потому что в каждом классе эквивалентности есть только один член, который удовлетворяет этому дополнительному условию. Как это можно показать и понять?

Ответы [ 4 ]

4 голосов
/

Условие калибровки Лоренца не фиксирует калибровку полностью.

Пусть $A^\mu$ - поле, удовлетворяющее условию калибровки Лоренца $\partial_\mu A^\mu = 0$. Учитывая скалярную функцию $f$, пусть $B^\mu = A^\mu + \partial^\mu f$. $B^\mu$ также может удовлетворять условию калибровки Лоренца, если

$$ \partial_\mu B^\mu = \partial_\mu\partial^\mu f = 0, $$, т. Е. Если $f$ - пространственный эквивалент Минковского гармонической функции . Следовательно, неверно, что условие выбирает ровно одну функцию на класс калибровочной эквивалентности. В каждом классе существует целое (нетривиальное) векторное пространство функций, удовлетворяющих калибровке Лоренца.

3 голосов
/

Как указывают другие ответы, датчик Лоренца на самом деле является лишь частичной фиксацией датчика, которая оставляет остаточные степени свободы. Оставшаяся свобода калибровки - это то, что известно как неопределенность Грибова . Чтобы полностью указать калибровку, вам необходимо дополнительно указать достаточное количество граничных условий, чтобы зафиксировать конкретное решение волнового уравнения для вашей переходной функции $\eta$. Например, если все источники исчезают достаточно далеко в прошлом, то обычная причинная формула для калибровочного поля в терминах запаздывающих потенциалов, полученных из источников на прошлом световом конусе, исходит из дополнительного условия фиксации калибровки, что калибровочное поле такжеисчезают достаточно далеко назад в прошлом.

3 голосов
/

Не совсем верно: условие, которое вы заявляете, не однозначно фиксирует векторный потенциал, фактически у вас есть то, что называется свобода остаточного датчика , что означает, что с условием $\partial_\mu A^\mu = 0$ вы имеетене полностью исправлен датчик. Давайте докажем это.

Предположим, у вас есть $A^\mu$ такой, что $\partial_\mu A^\mu=0$, тогда у вас есть бесконечные векторные потенциалы, которые удовлетворяют этому соотношению и связаны следующим калибровочным преобразованием: $A^\mu \rightarrow {A'}^\mu = A^\mu + \partial^\mu \theta$. Где $\theta$ является гармонической функцией, то есть она удовлетворяет $\Box \theta = \partial_\mu \partial ^\mu \theta=0$

Следовательно, вы можете видеть, что потенциал $A'$ удовлетворяет вашему условию фиксации калибровки.

0 голосов
/

Волновое уравнение, $\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = - j^\nu/ \epsilon_0 $ для потенциала, подразумевает уникальную, биективную связь между источником и потенциалом. Исходный термин ограничен для сохранения. Изображение этого представляет собой связь между компонентами поля, условием Лоренца. С неоднозначностью Грибова можно справиться, потребовав, чтобы потенциал элемента-источника был равен нулю вне светового конуса. Я опубликовал это в рецензируемом журнале, и статью также можно найти по адресу https://arxiv.org/abs/physics/0106078.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...