Как давление связано со стоимостью энергии - физиков.нет
2 голосов
/

Рассмотрим следующую проблему, обнаруженную на этой веб-странице .

Рассмотрим сферический пузырь радиуса $R$ определенной жидкости плотности $\rho$, захваченный внутри какой-либо другой жидкости,Пузырь стабилизируется наличием поверхностного натяжения.А именно, предположим, что пузырь имеет почти, но не идеально, сферическую поверхность, которую мы описываем функцией $\zeta (\theta, \phi)$, обозначающей разницу $\zeta = r - R$ между фактическим радиусом $r$ и исходным радиусом $R$.Затем можно записать стоимость энергии этой деформации как:

$$ E = \alpha \int d\theta d \phi \sin\theta(R+\zeta)^2\sqrt{1+ \left( \frac{1}{R+\zeta} \frac{\partial \zeta}{\partial \theta} \right)^2 + \left( \frac{1}{(R+\zeta)\sin \theta} \frac{\partial \zeta}{\partial \phi}\right)^2} .$$

Задача состоит в том, чтобы доказать, что давление (разность от равновесного давления) на поверхности пузырька равно:

$$ P = \frac{2 \alpha \zeta}{R^2} + \frac{\alpha}{R^2} \nabla^2 \zeta $$

, где $\nabla^2$ - сферический лапласиан.

Я не уверен даже в общем случае, если кто-то получает стоимость энергии $E$, то как быполучить давление $P$.Есть ли общее определение или процедура, которую можно было бы сделать?

1 Ответ

1 голос
/

Я думаю, что можно получить выражение для $P$ без выражения для $E$.Пусть $p_o$ будет давлением из-за жидкости снаружи, а $p_i$ будет давлением из-за жидкости в пузыре.Поскольку пузырь изначально сферический, \begin{equation}\tag{e1}\label{e1} p_o - p_i = \frac{2\alpha}{R}. \end{equation} Когда пузырь деформируется, его радиус задается как $r = R + \zeta(\theta, \phi)$, так что уравнение его поверхности, если $f(r, \theta, \phi) = 0$, где $f = r - R - \zeta(\theta, \phi)$.Если давление внутри пузырька равно $p_f$, \begin{equation}\tag{e2}\label{e2} p_o - p_f = \alpha\Delta f, \end{equation}, где $\Delta$ - оператор Лапласа в $r, \theta, \phi$.Обратите внимание, что $R$ является константой, поэтому \begin{equation}\tag{e3}\label{e3} \Delta f = \frac{2}{r} - \frac{\nabla^2\zeta}{r^2}, \end{equation}, где $\nabla^2$ - это лапласиан только в $\theta, \phi$.Теперь, \begin{equation} r = R\left(1 + \frac{\zeta(\theta,\phi)}{R}\right). \end{equation} Если $\zeta(\theta,\phi) \ll R$, мы можем приблизить \begin{equation}\tag{e4}\label{e4} \frac{1}{r} = \frac{1}{R} - \frac{\zeta}{R^2}. \end{equation} Аналогично, \begin{equation}\tag{e5}\label{e5} \frac{1}{r^2} = \frac{1}{R^2} - \frac{2\zeta}{R^3}. \end{equation} Уравнения подстановки (e5) и (e4) в (e3) мы получим \begin{equation}\tag{e6}\label{e6} \Delta f = \frac{2}{R} - 2\frac{\zeta}{R^2} - \frac{\nabla^2\zeta}{R^2}, \end{equation}, где мы проигнорировали термин $\zeta\nabla^2\zeta$ этоболее высокого порядка в $\zeta$.Из уравнений (e2) и (e6), \begin{equation}\tag{e7}\label{e7} p_o - p_f = \frac{2\alpha}{R} - \frac{2\alpha\zeta}{R^2} - \frac{\alpha\nabla^2\zeta}{R^2} \end{equation} Вычитая (e7) из (e1), мы получаем \begin{equation}\tag{e8}\label{e8} p_f - p_i = \frac{2\alpha\zeta}{R^2} + \frac{\alpha\nabla^2\zeta}{R^2}. \end{equation} $p_f - p_i$ - это разница в деформированном пузырьке от его равновесного давления.

Интеграл ввыражение для $E$ является просто областью деформированной сферы.Вы можете обратиться к одному из моих вопросов для получения более подробной информации.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...