Голономные ограничения Арнольда как пределы потенциальной энергии - физиков.нет
1 голос
/

Следующая цитата взята из книги Арнольда «Математические методы в механике»:

«Мы рассматриваем потенциальную энергию $U_N = Nq_2^2 + U_0(q_1, q_2) $ в зависимости от параметра $N$ (который будет стремиться к бесконечности).Рассмотрим начальные условия на $\gamma$ [предполагается, что путь в $q_1, q_2$ координатах]: $ q_1(0) = q_1^0, \dot{q}_1(0) = \dot{q}_1^0, q_2(0) = 0, \dot{q}_2 (0)= 0 $. Обозначим $q_1 = \phi(t,N)$ эволюцию $q_1 $ при движении с этими начальными условиями в поле $U_N$."

Затем он упоминает теорему, но без доказательства.Я был бы счастлив, если бы кто-то мог представить аргумент в пользу веры в теорему.

"Следующий предел существует как $N \to \infty$: $\lim \limits_{N \to \infty}\phi(t,N) = \psi(t)$. Предел $q_1 = \psi(t)$ удовлетворяет уравнению Лагранжа [...]где [новый лагранжиан] $L_*(q_1, \dot{q}_1) = T|_{q_2=0, \dot{q}_2=0} - U_0|_{q_2=0}$ ".

В предыдущей цитате $T$ является термином кинетической энергии.

1 Ответ

1 голос
/
  • 2-я частица $q_2$ является эффективно , прикрепленной к пружине с константой сцепления $2N$.Из механического энергосбережения, $|q_2|\leq\sqrt{E/N}$.В пределе жесткой пружины $N\to\infty$ 2-я частица $q_2$ становится ограниченной, чтобы оставаться в исходной точке, тем самым обеспечивая голономное ограничение $q_2= 0$.

  • Между тем 1-я частица $q_1$ продолжит свою деятельность $$ m_1\ddot{q}_1~=~-\frac{\partial U_0(q_1,q_2)}{\partial q_1},\tag{1}$$ и будет взаимодействовать с ограниченной 2-й частицей в $q_2=0$.(Формально нам нужна непрерывность решения $q_1$ к ОДУ (1) по параметру $q_2$. Это гарантируется наложением определенных условий регулярности на $U_0(q_1,q_2).$)

...