Дополнительный член в вероятности Клейна-Гордона тока? - физиков.нет
0 голосов
/

Я пытаюсь найти токи плотности и вероятности, которые удовлетворяют уравнению неразрывности.Мои записи лекций дают следующую конструкцию:

$$ i\hbar(\phi^*(\partial_t^2\phi) - (\partial_t^2\phi^*)\phi = \phi^*(\nabla^2\phi - m^2\phi)-\phi(\nabla^2\phi^*-m^2\phi^*)$$

И хотя они не указали, откуда это взялось, я чувствую, что они пришли сюда, подставив $\phi^*\phi$ в Кляйн-Уравнение Гордона.

$$(\partial_\mu\partial^\mu +m^2)\phi^*\phi = 0 $$

Где $\phi$ пропорционально $e^{i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t)}$.

Но просто взяв производную по времени: $\partial_t^2(\phi^*\phi) \propto (\partial_t^2\phi)\phi^*-\phi(\partial_t^2\phi^*) + 2(\partial_t\phi)(\partial_t\phi^*)$:

Мы видим, что у нас есть средний член $2(\partial_t\phi)(\partial_t\phi^*)$.Как исчезает этот средний термин?

1 Ответ

0 голосов
/

$2(\partial_t\phi)(\partial_t\phi^*) \propto e^{i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t)}e^{-i(\mathbf{k}.\mathbf{r}-\omega t)} = constant$

Следовательно, средние члены пространственных и временных производных не влияют на токи вероятности или плотность вероятности.

...