Пионы и $SU(2)$ представление - физиков.нет
1 голос
/

Я читал о представлении пиона ($\pi$) SU (2) и наткнулся на выражение для оператора изоспина, $$ I_i=\epsilon_{ijk}\int d^3x\phi_j \dot\phi_k=-i\int d^3x \dot{\phi}^T t_i \phi ,$$ где $\phi$ обозначает поле изоспин-вектор, которое можно разложить на три вещественныхкомпоненты $\phi_1, \phi_2,\phi_3$ или одно комплексное поле $\Phi=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1-i\phi_2)$ плюс одно действительное поле $\phi_3$.

И затем говорят, что $t_i$, для которого $$ [t_i,t_j]=i\epsilon_{ijk} t_k \qquad \hbox{and} \qquad (t_i)_{jk}=-i\epsilon_{ijk}$$ образуют сопряженное представление изоспиновой группы.

И здесь я немного запутался: если $t_i$ образуют присоединенное представление группы изоспинов, , что такое $I_i$?

В одной книге я также читал, что существует два представления изоспиновой группы канонической единицы (записано в $\pi^+,\pi^0,\pi^- $ основе):

$T_1=\sqrt{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $ $, \quad T_2=\sqrt{2}\begin{bmatrix} 0 & -i & 0\\ i & 0 & -i\\ 0 & i & 0 \end{bmatrix} $

$T_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $

и вышеупомянутый сопряженный один. Является ли $I_i$ каноническим представлением?

Если $t_i$ записано как: $(t_i)_{jk}=-i\epsilon_{ijk}$, и я вычисляю матрицу для оператора $t_i$, какая база имеется в виду?$\pi^+,\pi^0,\pi^-$ основа или $\pi_1,\pi_2,\pi_3$ основа?

1 Ответ

1 голос
/

Я думаю, что мне удалось устранить мою путаницу и я хотел бы обобщить вышеупомянутые комментарии в ответе.Пионы описываются в QFT с использованием трех различных полей, все из которых удовлетворяют уравнению KG.Из-за их (почти) равной массы три поля соответствуют одному и тому же изоспиновому номеру $T=1$ и образуют основу $\{\pi^+,\pi^0,\pi^-\}$ для представления $SU(2)$, когда они сложены в матричной форме:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\phi=$$ \begin{pmatrix} \pi^+ \\ \pi^0 \\ \pi^- \\ \end{pmatrix} $.

Изоспиновые генераторы $SU(2)$ в трехмерном изоспиновом пространстве, охватываемые $\{\pi^+,\pi^0,\pi^-\}$, затем принимают «каноническую» форму:

$\qquad\qquad\qquad T_1=\sqrt{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $ $, \quad T_2=\sqrt{2}\begin{pmatrix} 0 & -i & 0\\ i & 0 & -i\\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}, $ $\quad T_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $.

Мы также можем выбрать другой базис, например, «сопряженный» базис $\{\pi^1,\pi^2,\pi^3\}$.Теперь генераторы принимают «сопряженную» форму:

$\qquad\qquad\qquad t_1=i\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $ $, \quad t_2=i\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $ $\quad t_3=i\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $,

преобразование $\{\pi^+,\pi^0,\pi^-\}\rightarrow \{\pi^1,\pi^2,\pi^3\}$ дается в терминах унитарного оператора $t_i=U^{\dagger}T_iU$, какможно прочитать здесь (см. ответы).$t_i$ образуют присоединенную репрезентацию, так что их элементы задаются как структурные константы группы $SU(2)$, что означает $(t_i)_{jk}=-i\epsilon_{ijk}$, где $\epsilon_{ijk}$ - структурные константы: $[t_i,t_j]=i\epsilon_{ijk} t_k$.

.$ I_i=-i\int d^3x \dot{\phi}^T t_i \phi$ с другой стороны представляют QFT-аналогию $T_i$ и $t_i$ и являются изоспиновыми операторами в QFT, например, $I_3$ дает $+1,0,-1$, если поле $\phi$ находится в состоянии $\pi^+,\pi^0,\pi^-$соответственно.Это реализуется в терминах карты Джордана , но в смысле QFT, где каждое поле рассматривается как бесконечная сумма осцилляторов.

...