Бесконечные связанные массы, симметрия и теорема об диагонали одновременно для бесконечномерных векторных пространств - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

В Физике волн Георгием в главе 4 мы показываем, что в связанной системе масс, связанных пружинами, преобразование, сохраняющее некоторую симметрию $S$, коммутирует с $K^{-1}M$.Насколько я знаю по линейной алгебре, это означает, что они имеют общий вектор .Более того, собственные значения обоих операторов различны, поэтому мы можем отобразить собственные значения от $S$ до собственных значений $K^{-1}M$.Это означает, что мы можем решить проблему собственных значений для $S$ и затем использовать карту, чтобы найти нормальные частоты (то есть собственные значения $K^{-1}M$) системы.Я почти уверен, что очень хорошо понимаю этот конечный случай (если что-то в рассуждениях выше не верно, в этом случае, пожалуйста, дайте мне знать!)

Моя проблема в том, как учебник обрабатывает случай, когда мы имеембесконечно много связанных масс, вот так:

Picture to help with visualization

Мы принимаем $S$ как перемаркировку $j$ -ой массы к $(j-1)$ масса, которая четко сохраняет динамику системы. Мой первый вопрос: $S$ и $K^{-1}M$ коммутируют, так что они разделяют базис собственных векторов? Если бы это было конечномерное векторное пространство, конечно, было бы, но теперь мы имеем дело с бесконечнымразмерные векторы и матрицы, поэтому я не знаю, применима ли теорема.Книга предполагает (без обоснования), что она делает.

Предположим, $A_j^{(\beta)}$ является $j$ -ым компонентом собственного вектора $S$ с собственным значением $\beta$.С помощью простой алгебры можно показать, что $A_j^{(\beta)}=\beta^j$.Это подразумевает, что каждое собственное пространство является одномерным, потому что любые два собственных вектора с одинаковым собственным значением $\beta$ являются скалярными кратными друг другу.

При условии, что $S$ и $M^{-1}K$ совместно используют один и тот же базис собственных векторови несколько шагов, которые я не понимаю позже (уравнения 5.14-5.16 на стр. 112 учебника), мы приходим к $\omega^2=2B-C\beta-C\beta^{-1}$.Согласно этому уравнению $\beta$ и $\beta^{-1}$, оба собственных значения $S$, соответствуют одному и тому же собственному значению $\omega^2$ из $M^{-1}K$.Но это противоречие, если два оператора имеют один и тот же базис собственных векторов. Мой второй вопрос: действительно ли это противоречие или происходит какая-то математическая вещь, которую я не вижу?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...