Классическое действие равно нулю в теории Клейна-Гордона для волнового пакета частиц - физиков.нет
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Мне интересно переписать действия в форме $$ S = -\int H dt + \int p_i dx^i, $$ (где $H$ - гамильтониан, а $p_i$ - сопряженные импульсы), а затем оценить их по классическому решению, идентифицируя $H$ как энергию и$p_i$ как импульс частицы.

Это оказалось прямым для нерелятивистских и релятивистских действий точечной частицы: $S=\int (\frac{1}{2} m v^2 - V(x))dt$ и $S = -\int m \sqrt{1-v^2}dt$.

Однако, когдаВ теории поля что-то меняется.Решение уравнения движения Клейна-Гордона

$$S = -\int d^4x \left( \partial_\mu \psi^\dagger \partial^\mu\psi + m^2 |\psi|^2\right)$$ имеет вид $e^{i(-E t + p x)}$, где $E=\sqrt{p^2 + m^2}$, $p\in R$.Последний считается «модой частиц» с определенной частотой.Реалистичная частица (движущаяся в направлении $x$) будет волновым пакетом $\int dE P(E)e^{i(-E t + p x)} ,$, где $P(E)$ - это некоторая функция модуляции, например, гауссовская, с центром вокруг некоторой центральной частоты $E_0$.

Когда яэто обратно в $S$ Я получаю $$ S = \int d^4x dE dE' \left( - E E' + p p' + m^2 \right) e^{-i(E-E')t+i(p-p')x}P^*(E)P(E')$$ $$ = \int dt dE \left( - E^2 + p^2 + m^2 \right)|P(E)|^2 =0.$$ Кажется, я не смогу уменьшить его до желаемой формы.Можно было бы увидеть это, заметив, что в теории поля

$$S= \int d^4x \mathcal{L} = \int d^4x\left(- \mathcal{H} + \Pi \dot{\psi} + \Pi^\dagger\dot{\psi}^\dagger \right).$$

Хотя $\int d^3x \mathcal{H}$ действительно является сохраняемой энергией системы, сохраняемый импульс равен $\int d^3 x \left( \partial^0 \psi^\dagger \partial_r \psi + \partial^0 \psi \partial_r \psi^\dagger \right)$, которыйсм. трудно связать с последними двумя слагаемыми в $S$ выше.

Я бы подумал, что погружение в раствор волнового пакета частиц может свести действие к характеристикам действия точечной частицы.Это неправильный способ мышления?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...