Путаница: геодезические, связи и прямолинейность - физиков.нет
1 голос
/ 20 сентября

В своих чтениях в ОТО я часто сталкиваюсь с геодезическими, характеризуемыми как «самые прямые кривые».Эта характеристика смущает меня.Я хотел бы уточнить, правильно ли я понимаю математические понятия.

Чтобы исправить идеи, мое понимание основ математики GR состоит в том, что мы можем начать с соединения, которое позволяет нам сопоставитьвектор в касательном пространстве к вектору в соседнем касательном пространстве и оговорите, что эти два вектора считаются «одинаковыми».Это, в свою очередь, позволяет нам вычислить, как изменяется векторное поле таким образом, который корректирует использование различных систем координат, то есть ковариантной производной.Это, в свою очередь, позволяет нам определить параллельный перенос вектора вдоль кривой.Это, в свою очередь, позволяет нам охарактеризовать геодезические и исследовать кривизну пространства.(Я признаю, что есть другие способы развития этих концепций в зависимости от того, с чего вы начинаете, но для меня это наиболее интуитивно понятно. Надеюсь, это правильно.)

Теперь, мое понимание геодезических кривых состоит в том, что они - те, чья касательнаявекторы не меняются при движении в направлении самого касательного вектора.Т.е. они параллельно переносят свои касательные векторы.

Мой вопрос заключается в том, как эта «параллельная транспортировка его касательного вектора» эквивалентна кривой, которая делает это «максимально прямой».Насколько я понимаю, прямолинейность зависит от параллельности, которая зависит от связи, которая не дана, а то, что я могу выбрать.Так что это означало, что, выбрав определенную связь, я решаю, что является «прямым».

Но если это так, каковы ограничения, которые делают один вид кривой - например, большой круг на сфере - «самым прямым»?

Что мешает мне определить буквально любую кривую на сфере, а затем выбрать соединение, такое, что касательная к этой кривой, таким образом, определяется как параллельная касательной в предыдущей точке, и, таким образом, определяю эту кривую как прямую по?

И если я могу это сделать, на каком основании можно сказать, что большой круг является "более прямым", чем кривая, которую я таким образом определил как прямую по построению?

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/ 20 сентября

Как дополнение к уже превосходному ответу Дж. Мюррея.

Насколько я понимаю, прямолинейность зависит от параллельности, которая зависит от связи, которая не дана, а то, что я могу выбрать.Таким образом, это означало, что, выбрав определенное соединение, я решаю, что является «прямым».

Соединение является частью определения вашей геометрии.Изменение соединения также означает, что вы меняете кривизну.В этом смысле это не то, что вы можете выбирать, так же, как вы, например, можете выбирать координаты.Это то, что определяет структуру пространства, с которым вы имеете дело.

Поэтому, когда люди говорят, что геодезические (или автопараллельные кривые) являются самыми прямыми из возможных кривых, они означают самые прямые из возможных кривых в данной геометрии, что означаетпри определенной связи.

В большинстве контекстов общей теории относительности эта связь считается связью Леви-Чивиты, совместимой с данной метрикой (ответ Дж. Мюррея дает некоторый контекст, объясняющий, почему это имеет смысл).Следовательно, предоставление метрики обычно интерпретируется как указание соединения.

2 голосов
/ 20 сентября

Это вариационный подход к определению геодезических траекторий, да?Я знаю об этом, но не учился с осторожностью.Требует ли такой подход метрики?Я стараюсь держаться подальше от определений этих вещей, которые пока требуют метрики.Может быть, это часть моего заблуждения [...]

Это верно.

Как вы говорите, соединение определяет ковариантную производную, которая дает нам понятие параллельного переноса,Это позволяет нам говорить об автопараллельных кривых, которые в разговорной речи мы называем прямой .Это не имеет ничего общего с расстояниями.

С другой стороны, метрика определяет понятие расстояния на многообразии, что позволяет нам рассмотреть вопрос о том, является ли длина кривой стационарной по отношению к малойвозмущения (оставляя фиксированные конечные точки).Такие кривые называются геодезическими и не имеют ничего общего с прямолинейностью.

Эти структуры в принципе независимы.Однако, если мы требуем, чтобы соединение $\nabla$ было метрически совместимым (поэтому ковариантные производные метрики обращались в нуль) и без кручения, то мы приходим к единственному соединению Леви-Чивита $^*$;в этом случае можно показать, что автопараллели и геодезические совпадают $^{**}$.


$^*$ См. Основную теорему римановой геометрии .

$^{**}$ Обратите внимание, что нам не нужно выбирать соединение Леви-Чивита, чтобы это было правдой - на самом деле достаточно выбрать метрически-совместимое соединение, у которого тензор сжатия является просто антисимметричным, а не исчезающим.

...