Вопросы о теории среднего поля - физиков.нет
0 голосов
/

У меня вопрос по теории среднего поля.Предположим, у меня есть гамильтониан, такой как:

$$H=\sum (a^{\dagger}_{i}a_{i+1}+h.c)+U\sum (a^{\dagger}_{i}a^{\dagger}_{i}a_{i}a_{i}).\tag{1}$$

Часть в скобках описывает скачкообразное изменение частиц между сайтами с периодическим потенциалом, вторая часть описывает взаимодействие на месте.

Если я хочу использовать теорию среднего поля для описания системы многих тел, развивающейся в рамках этого гамильтониана, то у меня будет гамильтониан:

$H'=\sum (a^{\dagger}_{i}a_{i+1}+h.c)+U\sum (2a^{\dagger}_{i}a_{i}\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle-\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle^{2})$ (2)

Очевидно, $H'$ - это гамильтониан для одной частицы.

В книге, написанной Хенриком Брюусом и Карстеном Фленсбергом, авторы утверждают, что для поиска $\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle$ необходимо решить самосогласованное уравнение:

$\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle=\frac{Tr ( e^{\beta H'}a^{\dagger}_{i}a_{i})}{Tr(e^{\beta H'})}$ (3).

Вот мой вопрос:

В соответствии с уравнениями (2) и (3), в ходе эволюции системы, $\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle$ кажетсябыть фиксированным числом, поскольку разрешимо только equ (3).Обозначим $\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle$ как $c_{i}$, тогда уравнение (2) станет

$H'=\sum (a^{\dagger}_{i}a_{i+1}+h.c)+U\sum 2 (c_{i}a^{\dagger}_{i}a_{i}-c_{i}^{2})$ (4).

Сравнивая (1) и (4), получим, что в уравнении(1) взаимодействие пропорционально $\hat{n}_{i}^{2}$, в то время как в уравнении (4) оно пропорционально $\hat{n}_{i}$.

В ходе эволюции $\sum (a^{\dagger}_{i}a_{i+1}+h.c)$ вызовет скачкообразную перестройку между сайтами, поэтому $\langle a^{\dagger}_{i}a_{i}\rangle$ должноменяются со временем.Тем не менее, я не вижу изменений в уравнениях equ (2), equ (3) и equ (4).

Может ли кто-нибудь мне помочь, если я ошибусь?

...