Метод изображений в цилиндрических координатах для кругового кольца тока - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

Я пытаюсь определить, имеет ли следующая проблема аналитическое решение, используя метод изображений.Проблема заключается в бесконечно длинном (в $z$) цилиндре из материала с проницаемостью $\mu_2$ радиуса $r_0$, где область вне цилиндра имеет проницаемость $\mu_1$.В последнем регионе есть кольцо постоянного тока $I$ незначительной толщины и с радиусом $r_1 > r_0$.Эта ситуация проиллюстрирована на следующей диаграмме:

enter image description here

Вопрос заключается в том, можно ли использовать метод изображений для размещения колец текущего изображения для решения дляполя в любом регионе.Я провел небольшое исследование по этому вопросу, и это наводит меня на мысль, что никакая простая конфигурация колец изображений не может удовлетворить необходимые граничные условия на границе раздела.Это после того, как мы увидели этот похожий вопрос , а также после работы с уравнениями в этой статье для магнитного поля из кольца тока.Так кто-нибудь знает наверняка, может ли это быть решено с использованием метода изображений или нет?

Обратите внимание, что аналогичная проблема электростатики (я думаю) представляет собой кольцо заряда вокруг цилиндрической области с различной диэлектрической проницаемостью или идеальнойпроводник.

1 Ответ

1 голос
/

Для определенности мы ставим $\mu _1=1,\mu _2=200, r_0=1,r_1=1.5$.Тогда эту задачу построения изображений кольца в цилиндре с высокой магнитной проницаемостью можно свести к задаче оптимизации.В качестве точного решения для токовой петли мы используем уравнения (24) и (25) из статьи Простые аналитические выражения для магнитного поля круговой петли тока , описывающие радиальную и осевую составляющую магнитного поля.индукция в виде $$B_{\rho}=B_{\rho}(r_i,\rho,z),B_z=B_z(r_i,\rho,z) $$ Мы предполагаем, что магнитное поле такой системы можно описать как суперпозицию поля исходного цикла и всех его изображений в виде $$B_{\rho}=\sum_{i=1}^n {c_iB_{\rho}(r_i,\rho,z)},B_z=\sum_{i=1}^n{c_iB_z(r_i,\rho,z)} $$ Здесь можно найти параметры $c_i, r_i$Оптимизируя функционал, минимизируя остаточные граничные условия на поверхности цилиндра $$f=\sum_{j=1}^m{[B_{\rho}(r_0-\epsilon,z_j)-B_{\rho}(r_0+\epsilon,z_j)]^2+[B_z(r_0-\epsilon,z_j)/\mu_2-B_z(r_0+\epsilon,z_j)/\mu_1]^2}$$ Один из примеров успешной оптимизации с $n=11,m=41,\epsilon=1/15$ приводит к $f=0.0000208766$ и $c_1= -1.06691, c_2= 0.963961, c_3= -1.06325, c_4= 0.994663, c_5= -1.05188, c_6= 0.974633, c_7 = -1.02329, c_8= 0.987478, c_9= -1.38852, c_{10}= 0.659527,c_{11}=1, r_1= 0.780427, r_2= 0.763184, r_3= 0.780421, r_4= 0.763187, r_5= 0.961497, r_6= 0.933601, r_7= 1.11224, r_8= 1.09194, r_9 = 1.55361, r_{10}= 1.73244,r_{11}=r_1=1.5$ Общий вид петель и магнитного поля показан на рис.1 Figure1

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...