От второго квантования к первому квантованному гамильтониану - физиков.нет
0 голосов
/

Во втором квантовании гамильтониан может быть записан как $$ \hat{H} = \sum_{ij} \psi_i^{\dagger} H_{ij} \psi_j = \psi^{\dagger} H\psi $$ Где, $\psi, \psi^{\dagger}$ - операторы уничтожения и создания соответственно.

Является ли матрица $H$ справа 1-м квантованным гамильтонианом 2-го квантованного гамильтониана ($\hat{H}$)?

Редактировать: Я сталкивался с этим, читая
Топологические фазы: классификация топологических изоляторов и сверхпроводников не взаимодействующих фермионов и далее - А. Людвиг .
Остальныечасть статьи не имеет отношения к этому вопросу.Здесь автор называет $H_{A,B}$ первым квантованным гамильтонианом.

enter image description here

Ответы [ 3 ]

2 голосов
/

Полагаю, полезно рассмотреть, что подразумевается под первым квантованием и вторым квантованием.Это исторические термины, и они могут быть не самыми лучшими в соответствии с текущими представлениями, поскольку они относятся просто к предписаниям квантования в различных настройках.

Первое квантование касается только квантования 1-частицы.Таким образом, в такой теории вы можете думать о гармоническом осцилляторе (всегда :)), где мы преобразуем его традиционный гамильтониан, записанный в терминах $\hat{P}$, вместе с его квадратичным потенциалом в нечто пропорциональное $$\hat{H} \propto \sum_{n}\omega_n \hat{a}^\dagger\hat{a}$$, где $a$Это операторы создания и уничтожения, и их роль заключается в диагонализации гамильтониана.Они должны выполнять канонические коммутационные отношения (CCR), чтобы сохранить коммутационные отношения между $\hat{p}$ и $\hat{x}$, это часть квантования.В целом, здесь важно то, что нужно обработать только одну частицу, и она может занимать дискретный / непрерывный набор энергетических уровней.Таким образом, состояние просто помечено одним числом, например $|n\rangle $, и применение $\hat{a}^\dagger$ переведет это состояние в $|n+1\rangle$ с более высокой энергией $\omega_{n+1}$, поэтому их иногда называют операторами повышения / понижения.

Второе квантование обычно относится к теории полей, которая пытается моделировать многочастичные системы.Чтобы указать состояние в этой теории, вы можете подумать о том, чтобы записать текущее занятие на уровне энергии.Вам нужно будет сказать, сколько частиц и какого типа на каждом уровне.Я не буду вдаваться в подробности, но дело в том, что вам нужна пара операторов уничтожения и создания для каждого типа поля (в простейшем примере), и они также получают метку импульса.Таким образом, значение $a$ изменилось , вместо увеличения энергии, как при первом квантовании, они добавляют частицу с той же энергией.Таким образом, даже если рассматривать только одно поле, то есть один тип частиц, гамильтониан будет примерно равен $$\hat{H}\propto \int {\rm d}p\, w_p\, \hat{a}^\dagger_p \hat{a}_p $$, а состояние обычно записывается в терминах операторов создания, действующих в вакууме $|0\rangle$, например: $$ \hat{a}^{\dagger\,n_1}_{p_1}\hat{a}^{\dagger\,n_2}_{p_2}\cdots\hat{a}^{\dagger\,n_m}_{p_m}|0\rangle$$ это представляет состояние, одновременно несущее$n_i$ частицы, несущие импульс $p_i$ для $i=1,2,...,m$.

Так что, как написано в вопросе, неправильно отождествлять 1-й квантованный гамильтониан со 2-м квантованным гамильтонианом, поскольку они описывают разные теории.

1 голос
/

Я думаю, проблема должна рассматриваться в более широком контексте.Обычно говорят о квантовой механике в конфигурационном пространстве, описываемой оператором Гамильтона, содержащим кулоновские члены, исключающие самодействие.Это исторически было взято из приближения классической теории точечных зарядов.Классическая электромагнитная теория точечных зарядов, как известно, больна.Необходимо вручную устранить самовзаимодействие в силе Лоренца.Старые учебники между двумя мировыми войнами в деталях объясняли все нелепости этой классической теории.Уже термин гамильтониан, или лагранжиан, там не имеет смысла.На этом пути квантовая механика оказалась в тупике.Единственная значимая конструкция состоит в том, чтобы игнорировать изображение точечных частиц и принять теоретическую формулировку поля с последующим квантованием полей, описывающих частицы и фотоны.Это приводит непосредственно к QED.В зависимости от того, описывают ли частицы частицы как поля, удовлетворяющие полям уравнения Дирака, удовлетворяющим уравнению Шредингера, они попадают в релятивистскую или нерелятивистскую КЭД.Там нет места для описания "пространства конфигурации".

Я могу порекомендовать недавний педагогический препринт arXiv по этому предмету, предназначенный в качестве главы готовящейся книги.

"Теоретико-полевой подход к нерелятивистской КЭД. Ladislaus Alexander Bányai и Mircea Bundaru, arXiv: 1907.13053v1 [Quant-Ph] 30 Jul 2019"

1 голос
/

Как и ohneVal , ясно упомянул в своем ответе, что не существует такого понятия, как прямое соответствие между первым и вторым квантованием.Следовательно, чтобы добавить, в вашем выражении: $$\hat{H} = \sum \psi_i^{\dagger}H_{ij}\psi_j$$ мы уже установили, что мы принимаем поля (или волновые функции) в качестве операторов, то есть мы используем вторую квантованную форму.Здесь ваш гамильтониан записан на основе этих операторов поля $\psi_i$, которые затем воздействуют на вакуумное состояние, чтобы дать вам соответствующее выражение.

Помните, что второе квантование - это просто удобный инструмент для работы с многочастичными системами,потому что в конце мы просто заботимся о количестве частиц в доступных состояниях.

...