Почему существуют гиперболические (не гармонические) функции в координатах Риндлера - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Обычно преобразование координат Риндлера записывается как $$T = \frac{1}{a} \sinh(at) \tag{1}$$ $$X = \frac{1}{a} \cosh(at) \tag{2}$$, где $a$ - равномерное ускорение.Преобразования приводят к гиперболическим координатам, как известно.В частности, преобразование (1) для временной координаты основано на специальном релятивистском преобразовании Лоренца в виде следующей $$ dt = dT \gamma=\frac{dT}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{1/2}} $$ замены $v=a T$ на эту (допускающую $c=1$) $$ dt =\frac{dT}{(1-(a T)^2)^{1/2}} \tag{3}$$, и интеграцию дает $$ t =\int \frac{dT}{(1-(a T)^2)^{1/2}}=\frac{1}{a} a\sin(aT) $$ Обращая уравнение, мы получаем$$T = \frac{1}{a} \sin(a t)$$ Таким образом, вместо гиперболического синуса (1) мы получаем гармонический синус.Те же самые гармонические преобразования координат (согласно Википедии) были использованы Зоммерфельдом (1910), фон Лауэ (1911) и Паули (1921), но позже Лемэтр, Эйнштейн и Розен использовали гиперболические функции.Чтобы получить (1) литература использует (3), но со знаком $inverse$ $$ dt =\frac{dT}{(1+(a T)^2)^{1/2}} \tag{4}$$ Итак, мой вопрос: как можно придумать гиперболические функции в координатах Риндлера вместо гармонических функций?

1 Ответ

0 голосов
/

Предположение, что $v=aT$ неверно.Нужно использовать правильное ускорение $a$, которое остается постоянным.Если $a_c=\frac{dv}{dt}$ является координатным ускорением, t является координатным временем, тогда правильное ускорение задается как $$a= \frac{a_c}{(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}}$$ Так что $$\frac{dv}{dt}= a(1-\frac{v^2}{c^2})^{3/2}$$ Разрешение этого в отношении $v(t)$ приводит к $$v=\frac{at}{\sqrt{1+(\frac{at}{c})^2}}$$ Теперь $v(t)$ можно заменить наПреобразование Лореза для временной координаты, ведущей к гиперболическому синусу.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...