Каково пространство собственных значений / конфигураций поля для фермиона? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
4 голосов
/

В картине Шредингера квантовой теории поля собственные состояния поля реального скалярного поля $\hat\phi(\mathbf x)$ с $\mathbf x \in\mathbb R^3$ являются состояниями $\hat\phi(\mathbf x)|\phi\rangle=\phi(\mathbf x)|\phi\rangle$, с конфигурациями полей $\phi$ в пространстве $\mathbb R^3\to\mathbb R\;$.

Это собственное поле определяет волновой функционал $\Psi[\phi]=\langle\phi|\Psi\rangle$ и выражает вакуумное состояние, волновое функционал свободного поля $\Psi_0[\phi]=\langle\phi|\Psi_0\rangle$ как (Jackiw 89)

$$\begin{array}{cl} \Psi_0[\phi] &= C\prod_k e^{-\omega(\mathbf k)\frac{\tilde\phi(\mathbf k)^2}{2}\epsilon^3} \\ &\to C e^{-\frac{1}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3} \omega_{\mathbf k}|\tilde\phi(\mathbf k)|^2} \\ &= \operatorname{det}^{\frac{1}{4}}\left(\frac{K}{\pi}\right)\; e^{-\frac{1}{2}\int d\mathbf{x} \int d\mathbf{y}\, \phi(\mathbf{x}) K(\mathbf{x},\mathbf{y}) \phi(\mathbf{y}) } = \operatorname{det}^{\frac{1}{4}}\left(\frac{K}{\pi}\right)\; e^{-\frac{1}{2}\phi\cdot K\cdot\phi}.\\ \end{array}$$

Jackiw(и Symanzik 81, и Hatfield 92) также обсуждает волновой функционал $\Psi[\chi]=\langle\chi|\Psi\rangle$ фермионного поля $\hat\chi(\mathbf x)$ с собственным полем $\hat\chi(\mathbf x)|\chi\rangle = \chi(\mathbf x)|\chi\rangle$, но менее подробно.(Хотя он выводит форму волнового функционала фермионного вакуумного состояния, $\Psi_0[\chi]\propto\operatorname{det}^{-\frac{1}{4}}\left(\Omega\right)\; e^{\frac{1}{2}\chi\cdot\Omega\cdot \chi}$.)

Вопрос: В каком пространстве находятся конфигурации полей $\chi(\mathbf x)$?

Другими словами, что заполняет $\chi:\mathbb R^3\to\mathrm (\,\_\,)\,$?(Как для спин-1/2, так и для спин-3/2, а также для дел Майорана и Дирака?)


Допущения:

Игнорировать проблемы УФ / ИКи предположим, что пространство Минковского является четко определенным пределом циклической решетки $\mathbf x\equiv a\mathbf n, \mathbf n\in \mathbb{Z}^4_N$ как $(a,N)\to(0,\infty)$.

Предположим, что алгебра Грассмана над векторным пространством V с базисом $\{\mathbf{e}_i\}$ обозначена $\Lambda\,\mathrm{V}$, с порождающими элементами$\{\theta_{\mathbf{e}_i}\}$.

  • Например, двойные числа равны $\Lambda\,\mathbb R$, с генератором $\theta_1$ и общим элементом $z=c_0+c_1\theta_1$

  • бесконечномерная алгебра Грассмана над комплексным свободным векторным пространством $\mathbb R^3$ равна $\Lambda\,\mathbb{C}^{\mathbb R^3}$, с генераторами $\theta_{\mathbf x}|\mathbf x\in\mathbb R^3$ и общим элементом $z=\sum_{k=0}^\infty \sum_{\{\mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_k\}\,\subset\, \mathbb R^3} \frac{1}{k!}c_{\mathbf{x}_1\cdots\mathbf{x}_k} \theta_{\mathbf{x}_1}\cdots\theta_{\mathbf{x}_k}$.Примерными функциями $f:\mathbb R^3\to\Lambda\,\mathbb{C}^{\mathbb R^3}$ являются $f(\mathbf{x})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\theta_{\mathbf{x}}$ и $f(\mathbf{x})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\theta_{\mathbf{k}}$ для некоторых $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^3$.

  • два генератора на точку в $\mathbb R^3$ будут $\Lambda\,\mathbb{C}^{2\mathbb R^3}$, с элементами генерации $\theta_{\mathbf x,a}|\mathbf x\in\mathbb R^3,a\in\{0,1\}$.Примером функции $f:\mathbb R^3\to\Lambda\,\mathbb{C}^{2\mathbb R^3}$ является $f(\mathbf{x})=e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\theta_{\mathbf{x},0}+e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\theta_{\mathbf{x},1}$.

  • один генератор на функцию $\psi:\mathbb R^3\to\mathbb C$ будет $\Lambda\,\mathbb{C}^{\mathbb{C}^{\mathbb{R}^3}}$

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...