Средницкая глава 22: непрерывные симметрии и сохраняющийся ток - физиков.нет
1 голос
/ 09 июля

В книге Средницкого он говорит, что: течение Нетера играет особую роль, если мы можем найти набор бесконечно малых преобразований поля, который оставляет лагранжиан неизменным или инвариантным.В этом случае имеем $\delta\mathcal{L}=0$, и мы говорим, что лагранжиан имеет непрерывную симметрию.Из уравнения (22.7), $$\partial_{\mu}j^{\mu}(x) = \delta\mathcal{L}(x)-\frac{\delta S}{\delta \varphi_{a}(x)}\delta \varphi_a(x)\tag{22.7}$$, тогда мы имеем $\partial_\mu j^\mu=0$ $\textbf{whenever the field equations are satisfied,}$, и мы говорим, что ток Нётера сохраняется.

Вот мой вопрос: после выбора подходящего набора бесконечно малых преобразований $\delta\varphi_a$Мы уже отредактировали $\mathcal{L}(x)$ без изменений.Как следствие, второй член в уравнении(22.7) , в целом, равно нулю, поскольку $S=\int d^4 x\mathcal{L}(x)$, поэтому $\partial_\mu j^\mu=0$.Но Средницкий говорит, что уравнения поля должны быть выполнены, что означает, что $\frac{\delta S}{\delta \varphi_{a}(x)}=0$ выполняется для каждого индекса a.Я не знаю, почему я не прав.

1 Ответ

1 голос
/ 09 июля

Это , а не верно, что $$\delta\mathcal{L}(x)~=~0\text{ off-shell}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\delta S}{\delta \varphi_{a}(x)}\delta \varphi_a(x)~=~0\text{ off-shell}.$$ Для простого контрпримера берут $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\varphi_{a} \partial^{\mu}\varphi_{a}$ и $\delta\varphi_{a}(x)=\epsilon_a$.

...