Нормальное упорядочение по контурному интегралу в CFT - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

В главе 6 Ди Франческо они вводят нормальный порядок $$ (AB)(w) = \oint_w \frac{ dz }{ 2\pi i (z-w) }A(z) B(w)\ .\tag{6.130}$$

Пока все хорошо.Но затем, запустив уравнения (6.139) $$ \oint_w \frac{ dz }{ z-w }A(z)B(w) = \oint_{|z|>|w|} \frac{ dz }{ z-w }A(z)B(w)-\oint_{|z|<|w|} \frac{ dz }{ z-w }B(w)A(z) \tag{6.139} $$</span> и $$ A(z) = \sum_n (z-x)^{-n - h_A}A_n(x), \quad B(z) = \sum_m (w-x)^{-m - h_B}B_n(x) \ , \tag{6.140} $$, они пытаются преобразовать интеграл в сумму мод, что меня очень смущает.

Коэффициенты / моды расширения $A_n(x), B_n(x)$ в уравнении (6.140)ясно зависит от промежуточного $x$.Более того, при обработке двух интегралов в (6.139) необходимы два разных промежуточных $x$.Это делает окончательный вывод (6.144) загадочным, $$ (AB)_m = \sum_{n \le -h_A}A_n B_{m - n }+ \sum_{n > -h_A} B_{m-n}A_n, \tag{6.144} $$, поскольку там зависимость от $x$ несколько убирается как: как конкретно определены $A_n$ и $B_n$?

(Делая контуры $z$ равными $|z| = |w| \pm \epsilon$ и принимая $\epsilon \to 0$, кажется, указывает, что промежуточный $x \to w$: но это сделает расширение $B(w) = \sum_m (w-x)^{-m - h_B}B_m(x)$ забавным.)

1 Ответ

2 голосов
/

ОП имеет точку.Текст в Ref.1 выше уравнение(6.140) (который утверждает, что $|x|$ должно быть между $|z|$ и $|w|$) неверно.Вот, надеюсь, лучший аргумент: пусть будет дан фиксированный $w\in\mathbb{C}\backslash\{0\}$.Теперь выберите фиксированный $x\in\mathbb{C}$ с $|x|<|w|$</span>.Можно для простоты выбрать $x=0$, но этого достаточно, если выполнено следующее:

  • На внешнем контуре $|z| > |w|$ мы требуем, чтобы $|z-x|>|w-x|$ для выполнения $z$.Тогда мы можем пертурбативно расширить следующий геометрический ряд $$\frac{z-w}{z-x}~=~1-\frac{w-x}{z-x}\quad\Rightarrow\quad \frac{z-x}{z-w}~=~\left(1-\frac{w-x}{z-x}\right)^{-1}~=~\sum_{\ell\geq 0}\left( \frac{w-x}{z-x}\right)^{\ell}. \tag{6.141}$$

  • На внутреннем контуре $|z| < |w|$ мы требуем, чтобы $|z-x|<|w-x|$</span> для работы $z$.Тогда мы можем пертурбативно разложить следующий геометрический ряд $$\frac{z-w}{x-w}~=~1-\frac{z-x}{w-x}\quad\Rightarrow\quad \frac{x-w}{z-w}~=~\left(1-\frac{z-x}{w-x}\right)^{-1}~=~\sum_{\ell\geq 0}\left( \frac{z-x}{w-x}\right)^{\ell}. $$

Теперь остальное доказательство и уравнения.(6.142) - (6.145) в работе.1 верны.[Обратите внимание, что уравнения(6.144) - (6.145) относятся к $x=0$, но их можно легко обобщить на ненулевое $x$.] $\Box$

Ссылки:

  1. P.Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенечаль, CFT, 1997;Раздел 6.5.
...