Есть ли случаи, когда $\nabla\cdot\iiint\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' \neq 0$? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
8 голосов
/

В классической электродинамике Джексона , раздел 5.4 (векторный потенциал), автор, кажется, полагает, что, поскольку $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$, справедливо следующее для плотности тока (где интеграл выполняется по всему пространству):

$$\nabla\cdot\iiint\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = 0$$

Однако в целом мы знаем, что в закрытом объеме $V$ имеем: $$\nabla\cdot\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = \iiint\limits_V\nabla\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = \iiint\limits_V\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\nabla\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\right)\mathrm{d}V'$$ $$ = -\iiint\limits_V\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\nabla'\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\right)\mathrm{d}V' = -\iiint\limits_V\nabla'\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' + \iiint\limits_V\frac{\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V'$$

Теперь в магнитостатическом случаеИз уравнения непрерывности $\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0$ мы знаем, что на самом деле $\nabla\cdot\mathbf{J} = 0$ по всему пространству (потому что нет локальных флуктуаций плотности заряда), и поэтому второе слагаемое исчезает, и у нас остается:

$$\nabla\cdot\iiint\limits_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = -\iiint\limits_V\nabla'\cdot\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\mathrm{d}V' = -\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}'$$

Теперь, принимая предел, когда объем становится всем пространством, мы видим, что поверхностный интеграл берется в областях, все более удаленных от $\mathbf{x}$.Если мы сделаем некоторые предположения об асимптотике $\mathbf{J}$, такие как $|\mathbf{J}(\mathbf{x}')| = o\left(\frac{1}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right|}\right)$, то мы можем ограничить поверхностный интеграл и показать, что он стремится к нулю.

С физической точки зрения, можно утверждать, что этого достаточнопотому что реалистичные системы всегда будут иметь токи, связанные в конечном объеме в любом случае.Но иногда мы рассматриваем идеализированные сценарии, такие как бесконечные прямые линии с равномерным током $I$.Эти случаи могут вызвать проблемы.Если у вас есть только один (или конечное число) таких проводов, я думаю, вы все равно можете показать, что интеграл стремится к нулю из-за обратной зависимости от расстояния в подынтегральном выражении (я не уверен).Но даже тогда можно было бы разумно представить себе идеализированные ситуации, включающие бесконечное число таких проводов, которые могли бы заставить поверхность не интегрироваться в ноль.это в конечном итоге охватывает все пространство.Если мы ограничимся сферами радиуса $|\mathbf{x}-\mathbf{x}'| = R$, центрированными вокруг $\mathbf{x}$, то сходимость будет тривиальной, потому что мы получаем $$-\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{x}')}{\left|\mathbf{x}-\mathbf{x'}\right|}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}' = -\frac{1}{R}\mathop{\LARGE\unicode{x222f}}\limits_{\partial V}\mathbf{J}(\mathbf{x}')\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}' = 0$$ (по теореме дивергенции и уравнению непрерывности).Но если ваши поверхности несферические, этот трюк больше не работает.Но, возможно, есть способ избежать этой проблемы.


Мне интересно знать наиболее общие предположения, которые можно сделать на $\mathbf{J}$ для удовлетворения конвергенции, а также узнать о ситуациях, которые могутследует учитывать, если это предположение неверно.

Ответы [ 3 ]

5 голосов
/

Почему вы утверждаете, что $$ \int_V \nabla \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V' = -\int_V \nabla' \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V'$$?Это не похоже на правду.У вас должно быть \begin{align} \int_V \nabla \cdot \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V' &= \int_V \Big(\nabla \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|}\Big) \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' =\\&= \int_V \Big(-\nabla' \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|}\Big) \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' = \\ &= \int_V \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} \nabla' \cdot {\bf J}({\bf x}') {\rm d}V' - \int_V \nabla' \cdot \Big(\frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\bf J}({\bf x}') \Big){\rm d}V' =\\&= 0 - \int_{\partial V} \frac{1}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\bf J}({\bf x}') \cdot {\rm d}{\bf S}\end{align}, и оно исчезает, если ${\bf J}$ исчезает достаточно быстро.Обратите внимание, что если он не исчезает достаточно быстро, то у вас могут возникнуть проблемы со сходимостью интеграла $\iiint \frac{{\bf J}({\bf x}')}{|{\bf x}-{\bf x}'|} {\rm d}V'$ по всему пространству;чтобы убедиться, что он четко определен, вам нужно ${\bf J}$, чтобы исчезнуть достаточно быстро, и это заставляет граничный член исчезать на бесконечности.

3 голосов
/

Ваша идея о сферах радиуса $R$ дает подсказку;если плотность тока ведет себя хорошо, большое расстояние поверхности от $\mathbf x$ сделает интеграл в пределе $R\to\infty$ равным нулю.

Рассматривается ситуация, когда электрический ток течет без накопления зарядов;что входит в область, также выходит из области.На практике это очень распространено: суммарный ток равен общему выходному току.На практике этот ток ограничен, независимо от того, как выбрана граничная поверхность, потому что ток в одиночном проводе конечен, а число проводов конечно.

Интеграл, о котором идет речь, можно разделить на двачасти, одна из-за тока, поступающего в область, и одна из-за тока, выходящего из области:

$$ \int_{\partial V} \mathbf j/r\cdot d\mathbf S = C_{in} + C_{out} $$, где $$ C_{in} = \int_{\partial V} \chi_{in}(\mathbf x')\mathbf j(\mathbf x')/r\cdot d^2\mathbf x' $$ и $$ C_{out} = \int_{\partial V} \chi_{out}(\mathbf x')\mathbf j(\mathbf x')/r\cdot d^2\mathbf x' $$, где $\chi_{in}$ - характеристическая функция деталиповерхности, куда входит ток ($\mathbf j\cdot d\mathbf S < 0$).

Воспользуемся неравенством треугольника:

$$ \left| \int_{\partial V} \mathbf j/r\cdot d\mathbf S \right| \leq |C_{in}| +| C_{out}|. $$

Таким образом, интеграл, очевидно, будет стремиться к нулюесли оба $C_{in}$ и $C_{out}$ равны нулю.Эти два, идущие в ноль, - это достаточное условие (оно может быть необязательным).

Пусть наименьшее $r=|\mathbf x - \mathbf x'|$ для некоторой стадии процесса ограничения будет обозначено $r_{min}$.Конечно, в процессе ограничения вся граница должна расширяться до бесконечности, поэтому $r_{min}\to\infty$.

$$ |C_{in}| \leq \int_{\partial V} \chi_{in}(\mathbf x')|\mathbf j(\mathbf x')\cdot d^2\mathbf x'|/r_{min} = \frac{I_{in}}{r_{min}} $$, где $I_{in}$ - это (положительное) значение тока из-за зарядов, поступающих в область,Пока этот ток не растет слишком быстро с $r_{min}$, вклад будет стремиться к нулю, поскольку граница расширяется до бесконечности.Аналогично для другого вклада.

Таким образом, достаточным условием для того, чтобы поверхностный интеграл пришел в ноль, является то, что электрический ток, проходящий через поверхность, не растет слишком быстро, когда поверхность расширяется.Если ток ограничен известным максимальным значением независимо от границы, как в случае, если система состоит из конечного числа (возможно, бесконечно длинных) проводов конечного тока, то интеграл стремится к нулю.Таким образом, можно рассмотреть произвольное конечное число бесконечных проводов, каждый из которых несет конечный ток.Однако, если число проводов, пересекающих границу, увеличивается так же быстро или быстрее, чем $r_{min}$, тогда может возникнуть проблема, и интеграл может не иметь предела 0. Это не похоже на обычную ситуацию.

1 голос
/

У меня мало мыслей, а не ответа.Может быть, это поможет.Так как ваша текущая плотность меньше расходится, может быть, это хорошая идея, чтобы применить разложение Гельмгольца?

Для общего, хорошо себя ведет трехмерного векторного поля с $\boldsymbol{\nabla}.\mathbf{J}=0$ мы имеем:

$\mathbf{J}\left(\mathbf{r}\right)=\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{M}$

Для некоторого векторного поля $\mathbf{M}$, но затем (используя символ Леви-Чивита $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ для работы с локоном):

$\int d^3 r' \mathbf{J}\left(\mathbf{r'}\right).\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\int d^3 r' \partial'_{\beta}M_{\gamma}\left(\mathbf{r'}\right).\partial'_{\alpha}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\oint d^2 r' \hat{n}_{\beta} M_{\gamma}\left(\mathbf{r'}\right).\partial'_{\alpha}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$

Где $\boldsymbol{\hat{n}}$ является нормалью к поверхности объема, в который вы интегрируете, и я использовал симметрию Леви-Чивиты, чтобы избавиться от другого интеграла.

Помогло ли это?Хорошо, у нас все еще есть поверхностный интеграл, но теперь мы говорим о намагниченности ($\mathbf{M}$), которая не должна так быстро исчезать, чтобы интеграл сходился к нулю.Кроме того, вы можете повторить тот же трюк, на самом деле, не теряя общности, если предположить, что $\boldsymbol{\nabla}.\mathbf{M}=0$.Интересно, сможете ли вы создать итеративное доказательство, в котором вы будете все глубже и глубже изучать производные плотности тока, которые затем устанавливают, что начальный интеграл можно сделать так близко к нулю, как вы хотите.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...