Как частица движется под постоянной 4-силой? - физиков.нет
3 голосов
/ 15 июня

Этот вопрос относится конкретно к случаю постоянной чистой 4-силы в специальной теории относительности вида $\textbf{F} = (f_0, f_x, 0, 0)$, где $f_0 = \frac{γ}c \frac{dE}{dt}$.Я понимаю, как решить случай постоянной 3-силы в специальной теории относительности, но, насколько я могу судить, нельзя использовать обычный трюк $p(t) = p(0) + f_xt$, так как 3-сила зависит от времени.

Чтобы найти решение, нужно ли использовать результат чистой силы $\textbf(u \cdot f) = \frac{dE}{dt}$?Любое руководство будет полезно!

Ответы [ 3 ]

4 голосов
/ 15 июня

Путаница здесь заключается в том, что многие очень способные физики подхватили идею о том, что движение при постоянном собственном ускорении так или иначе является движением при «постоянном 4-ускорении» и, следовательно, «постоянной 4-силе», но это просто не соответствует действительности.

Для прямолинейного движения при постоянном собственном ускорении $a_0 = A^\mu A_\mu$ инвариантный размер 4-ускорения фиксирован, как и направление в пространстве, но направление в пространстве-времени - нет.Направление в пространстве-времени ортогонально 4-скорости, и 4-скорость, безусловно, меняется, как и 4-ускорение.

Так что проблема здесь действительно в ясности и точности выражения.Многие люди говорят «постоянная 4-сила» или «постоянное 4-ускорение», когда они имеют в виду «постоянный размер 4-силы» или «постоянный размер 4-ускорения».

Сравните это с другим случаем: движение в круге с постоянной скоростью в ньютоновской физике.Будем ли мы говорить о таком движении, что ускорение постоянное?Возможно, мы бы это сделали, но мы достаточно знакомы с этим случаем, так что мы не путаем себя: мы знаем, что ускорение вектор меняется, но его размер постоянен.Будем ли мы говорить, что скорость постоянна?Нет, не будем.Будем ли мы говорить, что сила постоянна?Мы можем или не можем.Строго говоря, как векторная величина, она не постоянна.

Так что теперь давайте вернемся к специальной теории относительности.Если кто-то говорит: «Рассчитайте случай движения при постоянной 4-силовой силе», то на самом деле у внимательного ученика не остается иного выбора, кроме как принять утверждение за чистую монету и попытаться найти решение для этого случая.Решение трудное, и такая сила, конечно, не чиста и имеет мало отношения к физике.Если вопрос заключался в том, чтобы «рассчитать случай движения под действием 4-х сил с фиксированным пространственным направлением и постоянным инвариантным размером», то учащийся (будь то осторожен или нет) может вздохнуть с облегчением и взяться за решение этой стандартной проблемы.Но если в вопросе говорилось «первое», хотя он имел в виду второе, то это был некорректный вопрос.

(Пример этого появился недавно на экзамене по физике в Оксфорде; нам нужно улучшить наши процедуры, чтобы ловить такие вещи.)

2 голосов
/ 15 июня

Четыре силы - это скорость изменения четырехимпульса по отношению к собственному времени, то есть $$ {\bf F} = \frac{d{\rm P}}{d\tau}$$ Если оно было постоянным, это означает, что $$ {\bf P}(\tau) = {\bf P}_0 + {\bf F}\tau$$ Однако это будет означать, что масса $$m^2(\tau) = {\bf P}(\tau)\cdot {\bf P}(\tau) = m_0^2 + {\bf P}_0\cdot{\bf F}\tau + {\bf F}\cdot{\bf F}\tau^2 $$ находится вобщее время зависит.Частица с постоянной массой может иметь постоянное четырехкратное ускорение, только если ${\bf P}_0\cdot{\bf F}= {\bf F}\cdot{\bf F}$.Предполагая, что $m_0>0$ вы можете выбрать кадр, в котором ${\bf P}_0=(m_0,0,0,0)$, ${\bf F}=(F_0,\vec{F})$ у вас есть $$ F_0 m_0 = 0 = F_0^2 - \vec{F}\cdot\vec{F}$$, а это означает, что $F_0=0$, $\vec{F}=\vec 0$, ${\bf F}=0$.

В заключение выне может действовать с постоянной четырьмя силами на массивную частицу с постоянной массой.

Если вы позволите массе изменяться, у вас будет четыре скорости $$ {\bf u}(\tau) = \frac{1}{m(\tau)}{\bf P}(\tau) = \frac{{\bf P}_0 + {\bf F}\tau}{\sqrt{m_0^2 + {\bf P}_0\cdot{\bf F}\tau + {\bf F}\cdot{\bf F}\tau^2}}$$ и четырехпозиционное $$ (t(\tau),\vec x(\tau)) = {\bf x}(\tau) = \int \frac{{\bf P}_0 + {\bf F}\tau}{\sqrt{m_0^2 + {\bf P}_0\cdot{\bf F}\tau + {\bf F}\cdot{\bf F}\tau^2}} d\tau$$ Знание $t(\tau)$и $\vec x(\tau)$ вы можете восстановить $\vec x(t)$.

0 голосов
/ 15 июня

под руководством Джона Ренни;дайте мне знать, если что-то не так.

$\textbf{F} = d \textbf{P}/d\tau = m \cdot d \textbf{U}/d\tau$ в случае постоянной силы.

$\textbf{F} = m \cdot \textbf{A}$

$\textbf{A} \cdot \textbf{A} = a_0^2$ -> $\textbf{F} \cdot \textbf{F} = \frac{a_0^2}{m^2}$

Итак, у нас есть $\frac{a_0^2}{m^2} = f_x^2 - f_0^2$ для этой конкретной 4-силы.

Использованиерезультат $sinh(\eta) = \frac{1}{c}\int \:a_0\left(t\right)dt$ дает

$$\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta ^2}} = \frac{a_0 t}{c} = \frac{ m \sqrt{f_x^2 - f_0^2} t }{c} $$

, который затем можно инвертировать, чтобы найти компоненты 4-скорости частицы как функцию времени!

...