Кривизна поверхности жидкости рядом с плавающей сферой - физиков.нет
0 голосов
/ 31 декабря 2018

Я хочу оценить кривизну $\kappa$ поверхности жидкости рядом с плавающей сферой. Ситуация статична и показана здесь:

enter image description here

Плотность жидкости $\rho$, сила тяжести вниз $g$, радиус сферы $R$, а поверхностное натяжение твердого тела, жидкости и воздуха $\sigma$.

Я знаю, что:

1) Сфера наполовину погружена, так что свободная поверхность совпадает с центром сферы.

2) $\frac{\sigma}{\rho g R^2} << 1$</span>, что означает, что эффекты поверхностного натяжения незначительны по сравнению с гравитационными эффектами.

Я начну с уравнения Юнга-Лапласа:

$$ P_i - P_o = \sigma (\frac{1}{R} + \frac{1}{R_2})$$

, где один радиус кривизны - радиус сферы $R$, а $\kappa = \frac{1}{R_2}$ - кривизна свободной поверхности.

Теперь используйте простой гидростатический баланс сил, чтобы найти $P_i$. Обратите внимание, что значения давления в точках 1 и 2 ниже одинаковы.

enter image description here

Поскольку у нас $P_1 = P_2$, это означает, что

$$P_i = P_{atm} - \rho g h$$

Наружное давление $P_o = P_{atm}$.

Подстановка в Юнга-Лапласа,

$$ -\rho g h = \sigma (\frac{1}{R} + \kappa)$$

Теперь, так как эффекты поверхностного натяжения незначительны, $\rho g h \sim 0$ и конечный результат:

$$ \kappa \sim - \frac{\sigma}{R}$$

Меня смущает отрицательный знак, и я не уверен, что мое $\rho g h \sim 0$ предположение верно.

1 Ответ

1 голос
/ 31 декабря 2018

Я нашел эту цифру в Интернете из книги под названием «Капиллярность и смачивающие явления: капли, пузырьки, жемчуг, волны», автор de Gennes et al. Согласно рисунку оценка кривизны вблизи плавающей сферы определяется как $\kappa = 1/\ell_c$, где $\ell_c = \sqrt{\sigma/\rho g}$ - длина капилляра. Длина капилляра - это шкала длины, при которой поверхностное натяжение и силы тяжести имеют один и тот же порядок величины.

enter image description here

...