Аналог распределения заряда в магнитостатике - физиков.нет
Купить гитару в Москве
0 голосов
/

Если не считать магнитных монополей, каков аналог распределения заряда в магнитостатике? Можно ли назвать это распределением магнитных полюсов?

Ответы [ 4 ]

2 голосов
/

Да, есть: текущий элемент $d\vec j = \vec j dV$. Однако $\vec j$ ограничено $\vec \nabla \cdot \vec j =0$.

0 голосов
/

При некоторых обстоятельствах вы можете избежать просмотра намагниченного объекта, который имеет встроенную в него "плотность магнитного заряда". Это хорошее обсуждение этого вопроса в §§ 13.3–4 из Modern Electrodynamics Zangwill, которое я кратко изложу ниже.

Если мы посмотрим на уравнения Максвелла в замагниченном веществе в отсутствие свободных токов, то получим $$ \vec{\nabla} \times \vec{H} = 0, \qquad \vec{\nabla} \cdot \vec{H} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{M}. $$ Здесь $\vec{H}$ - вспомогательное магнитное поле, а $\vec{M}$ - намагниченность присутствующего вещества. Поскольку $\nabla \times \vec{H} = 0$, мы можем определить скалярный потенциал * $\psi$ такой, что $\vec{H} = - \vec{\nabla} \psi$; и если мы определим (фиктивный) плотность магнитного заряда, чтобы быть $$ \rho^*_M = - \vec{\nabla} \cdot \vec{M}, $$ тогда мы имеем $$ \nabla^2 \psi = - \rho^*_M, $$ то есть $\psi$ является решением уравнения Пуассона с «источником» $\rho^*_M$, точно так же, как $V$ является решением уравнения Пуассона с «источником» $\rho$. Более того, в области вне намагниченного вещества (где $\vec{M} = 0$) мы имеем $\vec{H} = \vec{B}/\mu_0$; и поэтому магнитное поле вне материи точно такое же, как если бы внутри вещества была концентрация "магнитного заряда".

Как отметил Зангвилл, этот метод расчета магнитных полей сегодня несколько устарел; но он дает некоторую ценную интуицию о том, почему (например) силовые линии стержневого магнита очень похожи на линии электрического диполя.


* Примечание для педантов: предположим, что основное пространство просто соединено.

0 голосов
/

1. Плотность тока подобна распределению заряда

Исключая радиацию, электромагнетизм в основном об одном (возможно, грубое резюме). Речь идет о возможности узнать электрические и магнитные поля $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ в разных контекстах, когда вам дают некоторую комбинацию распределения электрического заряда $\rho$, плотности тока $\mathbf{J}$, электрического скалярного потенциала $\Phi$, или магнитный векторный потенциал $\mathbf{A}$. Рассмотрим уравнения Максвелла:

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho,$$ $$ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, $$ $$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, $$ $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.$$

Вы видите из первого уравнения (закон Гаусса), что распределение заряда $\rho$ порождает электрическое поле $\mathbf{E}$, и вы видите из последнего уравнения (закон Фарадея-Ленца), что плотность тока $\mathbf{J}$ порождает магнитное поле $\mathbf{B}$. Эта невероятная симметрия распространяется через электромагнетизм, одним из простых примеров которого являются уравнения Пуассона для скалярного и векторного потенциалов -

$$\nabla^2\Phi = -\frac{1}{\epsilon_0}\rho $$ а также $$\nabla^2\mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J}.$$

Таким образом, плотность тока является аналогом распределения зарядов для магнитных полей. Плотность тока ведет себя так же в отношении магнитных полей, как и распределение заряда для полей $\mathbf{E}$.

Обратите внимание также на уравнения Максвелла в электростатическом случае, где оба $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$ и $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$.

2. Если существуют магнитные монополи, то существует распределение магнитного заряда

Глядя на уравнения Максвелла, как я их написал выше, вы можете заметить, что эти четыре уравнения умоляют нас открыть магнитные монополи. Если бы мы это сделали, это завершило бы симметрию, и у нас могло бы быть что-то вроде

$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho,$$ $$ \nabla \cdot \mathbf{B} = \mu_0\rho_m, $$ $$ \nabla \times \mathbf{E} = -\mathbf{J_m} -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}, $$ $$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.$$ Здесь я обозначил $\rho_m$ как распределение заряда благодаря магнитным монополям, а $\mathbf{J_m}$ как плотность тока из-за протекания магнитных монополей (то есть магнитного тока).

0 голосов
/

Не существует истинного аналога распределения электрического заряда в магнитостатике, поскольку не существует «магнитных зарядов» или магнитных монополей, что объясняется тем, что магнитное поле не содержит изолированных источников или стоков. Математически это ясно из дифференциальных форм уравнений Максвелла, наблюдая, что расходимость поля E приводит к распределению заряда, тогда как расходимость магнитного поля равна нулю. Следовательно, вы не можете иметь плотность зарядов, если заряд не определен.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...