Нулевой температурный предел сумм Мацубары - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
4 голосов
/

Рассмотрим фермионную сумму Мацубары для $$\frac{1}{\beta}\sum_n G^2(k,\omega_n) = \frac{1}{\beta}\sum_n \frac{1}{(i\omega_n - \epsilon_k)^2}$$ где $G(k,\omega_n)$ - функция свободного фермиона Грина. Чтобы оценить эту сумму, можно выполнить стандартную процедуру, введя фермионную функцию распределения $n_F$, обеспечив полюсы в $(2n+1)\pi/\beta$ с остатком $-1/\beta$. Это дает результат $$\frac{1}{\beta}\sum_n G^2(k,\omega_n) = n'_F(\epsilon_k)$$ В пределе $T\rightarrow 0$ это оценивается как $\delta(\epsilon_k)$.

Однако теперь давайте сначала возьмем предел $T\rightarrow 0$. Затем мы можем изменить сумму в интеграл, давая нам $$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2}$$ Однако оценка этого интеграла путем контурной интеграции дает $0$ из-за того, что он является двойным полюсом.

Есть ли что-то не так с моими манипуляциями здесь, или есть что-то непростое в принятии лимита $T\rightarrow 0$?

1 Ответ

3 голосов
/

Нужно быть осторожным при взятии лимита $T\rightarrow 0$. Рассмотрим $\epsilon_k = 0$. В этом случае интегральная форма расходится. Поэтому утверждение о том, что этот интеграл всегда равен $0$, явно неверно.

Можно получить представление о правильной процедуре, осознав, что $\delta(\epsilon_k)$ - это распределение, и, следовательно, должно быть «правильно» понято в интеграле. Поэтому мы действительно хотим учитывать количество:

$$\lim_{\beta\rightarrow\infty} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{\beta}\sum_{n}\frac{1}{(i\omega_n - \epsilon_k)^2}$$ где мы возьмем $f(\epsilon_k)$, чтобы быть как можно лучше (гладко, исчезает достаточно быстро при $\infty$ и т. д.). Теперь нам нужно тщательно следить за порядком операций.

Сначала давайте оценим это количество в указанном порядке. \begin{align} &\lim_{\beta\rightarrow\infty} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{\beta}\sum_{n}\frac{1}{(i\omega_n - \epsilon_k)^2} \\ =& \lim_{\beta\rightarrow\infty} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) n_F'(\epsilon_k) \\ =& f(0) \end{align} Вместо этого мы могли бы «переместить предел внутри интеграла», трактовав $n_F(\epsilon_k)$ как распределение, чтобы $\lim_{\beta\rightarrow \infty} n_F'(\epsilon_k) = \delta(\epsilon_k)$ в смысле распределений, и получили тот же результат.

Теперь, как мы должны понимать предельную процедуру преобразования суммы в интеграл в смысле распределений? Используя наши «достаточно красивые» свойства $f(\epsilon_k)$, мы можем поменять сумму и интеграл: \begin{align} &\lim_{\beta\rightarrow\infty} \frac{1}{\beta}\sum_{n} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{(i\omega_n - \epsilon_k)^2} \\ =& \int \frac{d\omega}{2\pi} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2} \end{align} где во второй строке мы использовали определение интеграла (Римана). Мы хотим поменять местами эти два интеграла, чтобы мы сначала оценили $\int d\omega$; Классически это не допускается, поскольку интеграл не является абсолютно сходящимся. Однако давайте сделаем следующий трюк: \begin{align} &\int \frac{d\omega}{2\pi} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2} \\ =& \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}-(-\epsilon,\epsilon)} \frac{d\omega}{2\pi} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2} \\ =& \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \int_{\mathbb{R}-(-\epsilon,\epsilon)} \frac{d\omega}{2\pi} \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2} \\ =& \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int d\epsilon_k f(\epsilon_k) \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{\epsilon^2 + \epsilon_k^2} \\ =& f(0) \end{align} Во второй строке мы удаляем проблемную область, чтобы мы могли поменять местами интегралы; мы берем главное значение интеграла. Обратите внимание, что со второй по последнюю строку появляется зарождающаяся дельта-функция $\frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{\epsilon^2 + \epsilon_k^2}$!

Другими словами, чтобы сначала взять предел $\beta\rightarrow \infty$ для преобразования суммы в интеграл, нам нужно вычислить главное значение интеграла, а предел $\epsilon \rightarrow 0$ берется в смысле распределений (то есть после интеграла $\int d\epsilon_k$). Конкретно это означает \begin{align} &\frac{1}{\beta}\sum_n\frac{1}{(i\omega_n -\epsilon_k)^2}\\ =&\int_{\mathbb{R}-(-\epsilon,\epsilon)} \frac{d\omega}{2\pi} \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2} \\ =& \int_{\mathbb{R}-(-\epsilon,\epsilon)} \frac{d\omega}{2\pi} \frac{1}{(i\omega - \epsilon_k)^2} \\ =& \frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{\epsilon^2 + \epsilon_k^2} \\ =& \delta(\epsilon_k) \end{align}

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...