Путаница в отношении закона Хукса - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Я привык видеть закон Хукса в форме: $F = kx$ но в другой моей книге это дает уравнение: $\\ F = \frac{\lambda x}{l}$, где $l$ - это длина без растяжения, $x$ - это расширение, а $\lambda$ - это модуль упругости .

Моя путаница заключается в том, что модуль упругости на самом деле, как я первоначально думал, что это был модуль Юнга , но затем понял, что его единицы являются ньютонами. Я не понимаю, что это на самом деле измеряет, поскольку это не что-то вроде «ньютонов на [единицу]». Я бы понял, если бы модуль был $\frac{N}{l}$, поскольку это, кажется, имеет смысл, но только $\lambda$ сам по себе не Любая помощь?

Ответы [ 3 ]

1 голос
/

Физики, как правило, используют пружинную постоянную $k$, а математики - модуль упругости $\lambda$.

Предположим, что существует спецификация для типа пружины, включающая материал, из которого она изготовлена, диаметр проволоки, из которой изготовлена ​​пружина, диаметр спирали и т. Д., Тогда все пружины с этой спецификацией и независимо от их длина будет иметь такой же модуль упругости $\lambda$, но постоянная пружины $k$ будет зависеть от длины пружины.

Предположим, что пружина длиной $L$ увеличивается на $y$ при приложении силы $F$. Постоянная пружины этой пружины $k_1= \frac {F}{y}$.
То же самое относится и к другой пружине той же длины с той же спецификацией.

Соединение двух пружин последовательно общей длиной $2L$ означает, что при приложении усилия $F$ к пружинам каждая пружина растягивается на одинаковую величину $y$, и поэтому общее удлинение двух пружин составляет $2y$.
Таким образом, постоянная пружины этой более длинной пружины составляет $k_2=\frac{F}{2y}$, что составляет половину постоянной пружины одной пружины, то есть $k_2=\frac 12 k_1$.

Теперь рассмотрим модуль упругости.
Для одной пружины $\lambda_1= \frac{FL}{y}$ и для двух последовательных пружин $\lambda_2= \frac{F2L}{2y}= \frac{FL}{y} =\lambda_1$.
Таким образом, модуль упругости не зависит от длины пружины.

Модуль Юнга несколько отличается, поскольку это свойство материала, из которого изготовлена ​​пружина, независимо от размера и формы материала.

1 голос
/

Если вы склеите две упругие полосы друг с другом и приложите продольную силу к ним, каждая из них будет сжиматься или сжиматься в соответствии с законом Гука. Общее изменение длины совокупного столбца представляет собой сумму изменения длины каждого из них, поэтому составной столбец следует закону Гука со значением $1/k$, которое является суммой $1/k$ s отдельных столбцов.

И наоборот, если вы возьмете равномерную полосу и нарежете ее на две одинаковые части, $k$ каждой части должно (по симметрии) быть в два раза больше оригинальной $k$.

Путем расширения этих аргументов для конкретной комбинации материала, сечения и т. Д. $k$ стержня обратно пропорционален его длине . Константа пропорциональности - это модуль упругости , который вы найдете во втором уравнении.

Это то же самое, что и $k\cdot l$, поэтому его единица равна $\rm (N/m)\cdot m$, где счетчики отменяются и оставляют только ньютон. Интуитивно понятно, что единицы силы соответствуют тому, что «если закон Гука работает для произвольно больших смещений (а это не так), сколько сил потребуется для сжатия стержня из этого материала и толщины до длины $0$

[Это не работает, если стержень настолько длинный, что начинает изгибаться при сжатии, или настолько короткий, что неравномерность вблизи его концов начинает иметь значение - например, трение с тем, что мы используем для толкания Концы могут препятствовать расширению материала в боковом направлении, когда мы сжимаем его, поэтому он может казаться более жестким, чем это должно быть в соответствии с модулем упругости. Но это верное приближение для полезного диапазона длин].

0 голосов
/

$\lambda$ пропорционально модулю Юнга, умноженному на площадь поперечного сечения пружинной проволоки. Итак, у него есть единицы силы.

На самом деле, когда пружина расширяется, это происходит из-за относительных сдвиговых вращений поперечных сечений проволоки, которые соединяются с формой спирали пружины, чтобы переместиться в осевое расширение. Таким образом, на самом деле модуль сдвига металла (который пропорционален модулю Юнга) определяет осевую жесткость пружины.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...