Концептуальное понимание операторов в QM - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
9 голосов
/

Представляют ли операторы в QM каким-либо образом действие измерительного устройства на измеряемое состояние? Обычно операторы в QM вводятся как абстрактные преобразования, чьи собственные векторы / собственные значения являются аксиоматически возможными результатами измерения с объяснением в духе «потому что это работает». Однако кажется совпадением, что операторы, определяющие возможные результаты измерений, - это, операторы , которые преобразуют состояния, в которых они действуют, как если бы сам динамический акт измерения моделировался грубозернистым устройством взаимодействие между состояниями в процессе измерения, и возможные результаты измерения - это те состояния с фиксированной запятой, для которых оператор не "разбирает вещи" во время измерения (т. е. собственные функции). Например, оператор импульса связан с бесконечно малыми пространственными сдвигами, что имеет смысл, поскольку аппарат, который измеряет импульс, должен каким-то образом исследовать, как состояние перемещается в пространстве, не изменяя его. Был ли вид, подобный этому, конкретизирован? Кажется, что это может пролить некоторый свет на проблему измерения; было бы разумно, чтобы операторы динамической эволюции состояний, на которые воздействовали операторы, в конечном итоге располагались (сжимались) к неподвижным точкам оператора.

Ответы [ 5 ]

5 голосов
/

Я не думаю, что операторы представляют действие измерительной аппаратуры. Операторы вводятся потому, что они являются единственным «разумным» способом представления квантовых наблюдаемых . Позвольте мне объяснить более подробно последнее утверждение.

Обычно математически моделируют физические наблюдаемые, , то есть измеримые величины, как карты, которые связывают с конфигурацией системы данное значение (результат гипотетического измерения). Затем можно математически манипулировать этими наблюдаемыми для получения новых, особенно путем их суммирования, масштабирования и умножения.

Однако вышеупомянутые карты являются коммутативными объектами, поскольку не имеет значения, в каком порядке мы их рассматриваем. Следовательно, эти карты являются разумным способом только для модели классических наблюдаемых . Фактически, экспериментальное доказательство состоит в том, что квантовые наблюдаемые не коммутируют: результат измерений может быть различным в зависимости от порядка, в котором наблюдаемые наблюдаются.

Чтобы решить эту проблему, можно попытаться определить вещи более абстрактно, пытаясь математически уловить основные свойства, которым должен удовлетворять набор квантовых наблюдаемых. Если рассматривать в качестве таких свойств упомянутое выше, то , то есть возможность суммирования, масштабирования и умножения наблюдаемых для повторного получения наблюдаемой, и вводит самый простой из возможных элементов некоммутативности (как показывают экспериментальные данные) а именно некоммутативность произведения наблюдаемых, получается так называемая некоммутативная алгебра наблюдаемых .

Другим полезным понятием, которое можно придать наблюдаемым, является понятие наибольшего значения (по «величине», то есть по модулю), которое наблюдаемое может дать в качестве результата измерения. Такое наибольшее значение имеет математически свойства нормы. Алгебра с нормой является банаховой алгеброй . Наконец, можно также предположить некоторые другие (физически очень разумные) свойства взаимодействия между принятием нормы и умножением наблюдаемых, а также концепцию сложных наблюдаемых (по общему признанию, в основном для математического удобства, тем не менее, это что-то очень естественное и в на классическом уровне подумайте например об удобстве сложных величин в классическом электромагнетизме). Благодаря этим дополнительным свойствам совокупность наблюдаемых математически моделируется так называемой некоммутативной C * -алгеброй .

Теперь некоммутативные C * -алгебры обладают очень интересным математическим свойством:

C * -алгебра всегда эквивалентна (в математических терминах изоморфна) алгебре линейных операторов, действующих в некотором комплексном гильбертовом пространстве.

Следовательно, представление квантовых наблюдаемых как операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является наиболее естественным делом, учитывая некоммутативность, существующую в квантовой физике. Позвольте мне также отметить, что классические наблюдаемые также естественным образом моделируются C * -алгеброй, хотя и коммутативной. А коммутативные C * -алгебры всегда эквивалентны алгебрам комплексных функций. Поэтому на классическом уровне естественно моделировать наблюдаемые по функциям.

Математическое описание физического состояния также приходит очень естественно, когда наблюдаемые моделируются, как описано выше, и соответствующие теории вероятностей (некоммутативные на квантовом уровне, коммутативные на классическом), касающиеся: Например, , ожидаемые значения и средние значения в измерениях также легко устанавливаются.

Проблема измерения (или, точнее, проблема процесса измерения), на мой взгляд, несколько касательна к наблюдаемым операторам (которые, как обсуждалось, естественно связаны с некоммутативностью). По моему мнению, это скорее вопрос физической интерпретации (хотя и очень интересный и глубокий, для которого пока нет полностью удовлетворительного решения).

3 голосов
/

У меня есть два ответа: ответ 1, для ОП, который явно находится на уровне человека, уже знающего о КМ и достаточно тщательно исследующего природу измерения, и ответ 2, для любого, кто изучает КМ.

Ответ 1. Измеряемая наблюдаемая величина дает только кратное число, когда кто-то воздействует с этим оператором на возможное измеренное выходное состояние (в конце концов, это уравнение собственного значения), и такое действие всегда приводит к смещению или чему-то подобному смещению ( то есть последовательность фазовых факторов), когда каждый смотрит на состояния в сопряженной основе. Это было рассмотрено, но я не знаю хорошего справочника, кроме как сказать, что есть огромная литература о том, как озадачивать измерения и как лучше описать это.

Ответ 2. Остальная часть моего поста является обучающим постом для всех, кто изучает QM. Я написал это, потому что я знаю, что догадка о том, что «операторы проводят измерения», является распространенной ошибкой в ​​изучении предмета. Я собираюсь посоветовать читателям избежать этой ловушки. Надеюсь, это кому-нибудь поможет!

Отношение операторов к измерению - это то, что я думаю, каждый, кто когда-либо изучал квантовую механику, задавал себе вопрос. Это также тот вопрос, который, по моему мнению, в большинстве учебников не очень ясен.

Операторы называются "операторами" в основном из-за их роли в математике , а не из-за физических операций, которые происходят в лаборатории (или где-либо еще). Если смотреть на поведение физических вещей, операторы больше похожи на свойства физических вещей, только они тоже не совсем такие; вот почему в QM их называют "наблюдаемыми". Слово означает «что-то, что вы можете наблюдать», а здесь это означает «что-то вроде свойства системы - только не совсем; подождите немного, и я расскажу вам больше».

Математически оператор определяется как «тот, который может воздействовать на кет (или волновую функцию), чтобы дать другой кет (или, возможно, тот же кет)». Дело в том, что такая комбинация, как $$ \hat{Q} | \psi \rangle $$ (где $\hat{Q}$ - некоторый произвольный оператор) производит или равно не оператору, не комплексному числу, не жирафу и не змее, а кету : $$ \hat{Q} | \psi \rangle = | s \rangle . $$ Моя точка зрения - просто сказать, почему операторы называются операторами. Это подходящий математический термин. И, между прочим, кет (или вектор состояния), приведенный здесь, не должен быть нормализован, и обычно не будет нормализован, даже когда нормализован $| \psi \rangle$.

Теперь вы можете подумать: «Погоди, оператор Гамильтона выдает на выходе не состояние, а скорость изменения состояния»: $$ \hat{H} | \psi \rangle = i \hbar \frac{d}{dt} | \psi \rangle $$ Это правильно, но это особый случай: это уравнение движения ; он говорит вам, что кет, который вы получите от $\hat{H} | \psi \rangle$, такой же, как тот, который вы могли бы получить от $i \hbar | \dot{\psi} \rangle$.

Теперь вернемся к вопросу. Полезно отметить, что операторы, особенно эрмитовы, имеют собственные состояния и собственные значения, поэтому первое, что нужно сделать с оператором, это часто выяснить, что такое собственные значения и собственные значения. Как только вы выяснили это (и заметили, что это может быть чисто математическая задача, которая не требует физических экспериментов), у вас появляется своего рода «меню», например, меню в ресторане. В нем говорится «вот доступные состояния, которые может принять система, если она будет иметь точно определенное значение физического свойства, связанного с $\hat{Q}$». Эта математическая задача включает в себя уравнение $$ \hat{Q} | u_q \rangle = q | u_q \rangle $$где $q$ - собственное значение (действительное число в предположении, что $\hat{Q}$ - эрмитово), а $| u_q \rangle$ - собственный вектор. Теперь это выражение выглядит так, как будто мы взяли систему и использовали ее или оперировали с $\hat{Q}$. Это правильно? (в конце концов, мы узнали, что собственные значения являются возможными результатами измерений, не так ли это здесь происходит?) Ответ нет . Это ложное впечатление . В приведенном выше уравнении ничего не произошло с физической системой. Скорее шеф-повар в ресторане готовил меню. Это было чисто математическое исследование, подобное решению для нормальных мод набора классических осцилляторов или поиску сферических гармонических функций, которые являются решениями уравнения Лапласа. Их нахождение ничего не говорит о том, что делает какой-то конкретный набор пружин, или как вибрирует какой-то конкретный барабан, а также вышеприведенное уравнение (уравнение собственных значений) не описывает акт измерения.

Однако, и это то, что мотивировало вопрос, конечно, мы знаем, что операторы имеют какую-то связь с физической операцией измерения. Так что же это за отношение? Соотношение следующее.

Физический процесс измерения может быть математически смоделирован как проекция (как проекция вектора в 3 измерениях на плоскость или линию). Оператор, представляющий измеряемую наблюдаемую величину, сообщает вам, в каких направлениях в гильбертовом пространстве может быть спроецирован вектор состояния системы, т.е. $| \psi \rangle$, и в каждом конкретном измерении выбирается только одно из этих направлений $^*$. Математически это $$ | \psi \rangle \rightarrow N P_q | \psi \rangle $$ где $N$ является константой нормализации и $$ P_q = | u_q \rangle \langle u_q | $$ и вероятность того, что эта конкретная проекция произойдет, $$ \mbox{Prob}(q) = | \langle u_q | \psi \rangle |^2 $$ Обратите внимание, что эти окончательные уравнения не включают $\hat{Q}$, и все же $\hat{Q}$ находится в фоновом режиме, предоставляя «меню» $\{ | u_q \rangle \}$ и $\{ q \}$.

Как я сказал в начале, я понимаю, что вышеизложенное хорошо известно ОП; Я не хочу оскорблять чей-то интеллект, просто улучшить общее понимание для тех, кто может изучать QM.

$^*$ Заключительный комментарий, для полноты: когда имеется несколько взаимно ортогональных состояний с одинаковыми собственными значениями, то проекция не на одно направление или собственное состояние, а на плоскость или пространство более высокого измерения.

0 голосов
/

Это суть основанного на декогеренции понимания измерения. Идея состоит в том, что операторы в гамильтониане воздействуют на состояние системы, заставляя ее декогерентироваться в распределение вероятностей на определенной основе, называемой «базой указателя». Например, поскольку физические взаимодействия обычно основаны на операторе положения, они часто вызывают (приблизительную) декогеренцию в собственном базисе положения, поэтому вещи кажутся локализованными - частицы имеют траектории и позиции.

Операторы, которые представляют измерения в QM, следовательно, могут считаться «работающими», поскольку они диагональны на той же основе, что и основа указателя, в которой процесс измерения вызывает декогеренцию.

0 голосов
/

Я думаю, что в том же смысле, что и предыдущие члены, ответили, что гамильтониан играет определенную роль в эволюции системы во времени. Если посмотреть на картину Шредингера, то это состояние системы, которое развивается, но в картине Гейзенберга это оператор или, скорее, ожидаемое значение, которое развивается во времени. Эти два полностью эквивалентны друг другу. Я думаю, что это аналог фазового пространства в классической механике. А когда любой другой оператор коммутирует с гамильтонианом, он называется это то, что я из этого вывел.

0 голосов
/

Квантовые наблюдаемые, т.е. е. эрмитовы / самосопряженные операторы являются математическими представлениями измеримых величин. Спектр оператора, а именно множество \begin{align*} \sigma(F) = \bigl \{ z \in \mathbb{C} \; \; \vert \; \; F - z \; \, \mbox{not invertible} \bigr \} \end{align*} комплексных чисел, где F - z не является обратимым, это множество возможных результатов измерений. Конечно, для эрмитовых операторов спектр реален.

Статистика распределения результатов фиксируется «проекционно-оценочной мерой», связанной с $F$, которая количественно определяет «плотность состояний» в данной области спектра.

Сам процесс измерения не имеет ничего общего с наблюдаемым. Если вы хотите смоделировать это, то вам нужно изменить гамильтониан, т.е. е. динамика. Нет коллапса волновых функций до некоторой фиксированной точки.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...