Глобальные $U(1)$ свойства преобразования калибровочных полей - физиков.нет
1 голос
/ 20 декабря 2018

Что такое глобальные калибровочные преобразования калибровочных бозонов в стандартной модели?

Для уточнения: Изначально мы рассматриваем глобальные $U(1)$ преобразования скаляров ($\phi$) и фермионов ($\psi$) как

$$\psi'\rightarrow e^{\alpha}\psi.$$

И когда фаза $\alpha$ зависит от пространства-времени, $x$, тогда преобразование становится локальным, и эти дираковские лагранжианы не являются инвариантными при этих калибровочных преобразованиях, поскольку в итоге мы получим $\partial_\mu\alpha(x)$. В этот момент мы вводим калибровочное поле $A_\mu(x)$, чтобы сделать полный лагранжиан инвариантным относительно этих локальных калибровочных преобразований, которые мы называем QED или скалярной QED после добавления динамических членов калибровочного поля.

В классической теории поля, такой как классическая электродинамика, мы просто имеем,

$$A_\mu' \rightarrow A_\mu - \partial_\mu\alpha,$$ в четырех векторной форме. Конечно, я полагаю, мы не можем назвать это преобразование локальным, поскольку оно является классическим (?), И $\alpha$ здесь является вспомогательной функцией, которая зависит только от пространства-времени.

Теперь, в квантовой теории поля, как я описал в начале, каковы глобальные U (1) преобразования калибровочного поля $A_\mu(x)$, когда мы заключаем сделку как QED или скалярная QED? Это просто, $$A_\mu'\rightarrow A_\mu$$ как $\alpha$ не зависит от пространства-времени?

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/ 20 декабря 2018

Буквальный ответ на ваш вопрос - просто «Да», но мне кажется, что вы запутались в некоторых основополагающих аспектах калибровочной теории, поэтому позвольте мне прокомментировать три темы, которые вы упомянули без посторонней помощи:

  1. «Создание глобальной симметрии локально» по какой-то причине является популярной педогогией, но на самом деле это не имеет никакого физического смысла как мотивация. См. этот мой ответ или этот вопрос и ответы на него для лучшей мотивации для калибровочной теории.

    Вы, кажется, думаете, что квантовые калибровочные теории каким-то образом полностью отличаются от классических калибровочных теорий, потому что мотивация «от глобальной к локальной» не работает в классической электродинамике. Это не так, квантовая калибровочная теория - это квантование классической калибровочной теории, как и любая другая квантовая теория поля - это квантование соответствующей классической теории поля.

  2. Преобразование $$ A_\mu \mapsto A'_\mu = A_\mu + \partial_\mu\alpha$$ это локальная трансформация. Определение локального преобразования в этом случае просто означает, что это преобразование, в котором параметр преобразования ($\alpha$) зависит от пространства-времени.

    (Преобразование также «классическое». На самом деле, это преобразование только имеет смысл для классического поля, а не для квантового операторно-значимого поля, поскольку $\alpha$ не является динамическим полем классическая теория и, следовательно, квантование не превращают ее в оператор-поле.)

  3. Глобальными преобразованиями калибровочной теории $\mathrm{U}(1)$ являются те, в которых $\alpha$ не зависит от пространства-времени, и действительно это преобразования, при которых калибровочное поле является инвариантным.

    Важно отметить, что именно последний , а не первое свойство, которое обобщает понятие «глобальных» преобразований в неабелевых калибровочных теориях. Калибровочная симметрия в очень реальном смысле является «нефизической» в том смысле, что она кодирует избыточность в нашем математическом описании, а не свойство физической системы, см., Например, этот вопрос и его ответы или мой ответ . Ее глобальная часть - в смысле преобразований, которые оставляют калибровочное поле инвариантным - является истинным свойством системы, а не описания, например, это глобальная симметрия, а не калибровочная симметрия, которая нарушается в хиггсовском механизм, см. этот превосходный ответ Доминика Else .

2 голосов
/ 20 декабря 2018

Да, OP прав: глобальное $U(1)$ преобразование датчика в E & M не изменяет само поле датчика $A_{\mu}$: $\delta A_{\mu}=0$. Преобразуются только поля материи.

...