Коммутирует ли частичное отслеживание локальные операторы? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
2 голосов
/

Предположим, у нас большая система с двумя подсистемами $H=A\otimes B$. Для унитарного $U$ в гильбертовом пространстве $A$ и состояния $\rho$ в гильбертовом пространстве $H$. Верно ли следующее утверждение? $$ \text{Tr}_B [U\otimes \mathbb{1}_A \rho (U\otimes \mathbb{1}_A)^\dagger] = U \text{Tr}_B(\rho) U^\dagger$$

Физически это кажется достаточно убедительным, потому что кто-то, проводящий эксперименты в своей лаборатории $A$, не должен беспокоиться о слове снаружи ($B$). Но математически это утверждение кажется мне нетривиальным.

1 Ответ

0 голосов
/

Используя соглашение суммирования Эйнштейна для повторяющихся индексов, $$[(U\otimes\mathbb 1)\rho(U^\dagger\otimes \mathbb 1)]_{ijkl} = U_{im} \delta_{jn}\rho_{mnpq} U^*_{kp}\delta_{lq} =U_{im}U^*_{kp}\rho_{mjpl}$$

$$(\operatorname{Tr}_B[(U\otimes\mathbb 1)\rho(U^\dagger\otimes \mathbb 1)])_{ik} =[(U\otimes\mathbb 1)\rho(U^\dagger\otimes \mathbb 1)]_{ijkj} = U_{im}U^*_{kp}\rho_{mjpj} = U_{im}U^*_{kp}\operatorname{Tr}_B(\rho)_{mp} = (U\operatorname{Tr}_B(\rho)U^\dagger)_{ik}$$

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...