Может ли ускоренная пружина в статическом равновесии в своей раме покоя иметь разные силы на каждом конце? - физиков.нет
1 голос
/

Допустим, у меня есть две одинаковые массы, соединенные пружиной:

mass_spring

Если F1 = F2 = F, то силы на любом конце пружины также равны F, когда вся конструкция достигает статического равновесия.

Теперь, если F2> F1, вся схема ускоряется, в конечном итоге достигая статического равновесия в системе мгновенного покоя. Но для меня это означает, что сила на левом конце пружины равна F2, а справа - -F1, так что две массы ускоряются одинаково.

Это правильно?

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/

Допустим, что массы первого и второго объектов равны $m_1$ и $m_2$ соответственно. Ускорение двух масс будет $a=(F_2-F_1)/(m_1+m_2)$. Итак, во-первых, усилие на первый объект из-за пружины не может быть $F_2$. Если бы оно было равно $F_2$, то ускорение первого объекта было бы $(F_2-F_1)/m_1$, что отличается от ускорения, рассчитанного выше для связанных масс. Когда массы достигнут стационарной ситуации (или того, что вы называете «статическим равновесием»), тогда $m1$, $m2$ и пружина должны двигаться вместе с одинаковым ускорением, иначе между ними будет чистое движение.

Так какая сила действует на $m1$ из-за пружины? Итак, мы знаем, что ускорение $m1$ должно быть равно ускорению, рассчитанному выше для обеих масс, поэтому мы имеем уравнение: $(F_x-F_1)/m_1 = (F_2-F_1)/(m_1+m_2)$, где $F_x$ - это сила на $m1$, создаваемая пружиной. Итак $F_x = F_1+(m_1/(m_1+m_2))(F_2-F_1)$. Обратите внимание, что это не равно $F_2$. Аналогично, если $F_y$ является силой на $m2$ из-за пружины, то $F_y = F_2-(m_2/(m_1+m_2))(F_2-F_1)$. Маленькая алгебра может показать, что на самом деле $F_x=F_y$. Таким образом, ответ заключается в том, что (безмассовая) пружина оказывает силы одинаковой величины (но в противоположных направлениях) как на $m_1$, так и $m_2$. Для частного случая, когда $m_1=m_2$, из приведенных выше уравнений видно, что $F_x$ (или, что эквивалентно, $F_y$) представляет собой просто среднее значение величин двух сил $F_1$ и $F_2$.

enter image description here

1 голос
/

enter image description here

Ваше предположение, что силы натяжения пружины равны приложенным силам ($T_1=F_2$ и $T_2=F_1$, где $F_1 \ne F_2$), приводит к противоречиям.

Результирующая сила для каждой из двух масс будет одинаковой ($F_2-F_1$ вправо , потому что $F_2 \gt F_1$), и обе будут ускоряться вправо. Если $m_1=m_2$, то они будут иметь такое же ускорение, какое требуется для того, чтобы они находились в относительном покое. Однако, если $m_1 \ne m_2$, тогда они будут иметь разные ускорения и не смогут находиться в относительном покое.

Силы $T_1, T_2$, действующие на пружину, равны и противоположны тем, которые действуют на массы. Результирующая сила на пружине будет тогда $T_1-T_2=F_2-F_1$ влево . Это означает, что пружина будет ускоряться влево, в то время как массы ускоряются вправо. Это невозможно.

Кроме того, если пружина безмассовая ($m_3=0$), то ее ускорение будет бесконечным для всех ненулевых значений $F_2-F_1$. Опять же, это невозможно. (Если $F_2=F_1$, тогда не будет ускорения ни для массы, ни для пружины.)

Выводы: (1) Если $m_1 \ne m_2$, то у нас не может быть $T_1=F_2$ и $T_2=F_1$, даже если $m_3 \ne 0$. (2) Если пружина идеальна ($m_3=0$), то мы должны иметь $T_1=T_2$.


Общий случай

Требуется, чтобы пружина и 2 массы имели одинаковое ускорение $$a=\frac{T_1-F_1}{m_1}=\frac{T_2-T_1}{m_3}=\frac{F_2-T_2}{m_2}=\frac{F_2-F_1}{m_1+m_2+m_3}$$ Из этих уравнений мы выводим, что $$T_1=F_1+m_1a=\frac{m_1F_2+(m_2+m_3)F_1}{m_1+m_2+m_3}$$ $$T_2=F_2-m_2a=\frac{(m_1+m_3)F_2+m_2F_1}{m_1+m_2+m_3}$$ Поскольку $F_2 \ge F_1$ видно (как и ожидалось), что $$F_1 \le T_1 \le T_2 \le F_2$$ Равенство применяется, когда $m_1, m_3, m_2=0$ соответственно. В частности, если $m_3 \ne 0$, то $T_1 \lt T_2$. Если пружина безмассовая ($m_3=0$), то, как и ожидалось, напряжения на обоих концах одинаковы: $$T_1=T_2=\frac{m_1F_2+m_2F_1}{m_1+m_2}$$

...