Как извлечь конечный ответ после применения размерной регуляризации в КЭД? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
4 голосов
/

Когда в QED применяется размерная регуляризация, в конце концов, часто получается выражение $$\Gamma(n/2)\left(\frac{s}{\mu^{2}}\right)^{-n/2}$$, где $n$ - это небольшое число, $\Gamma()$ - это гамма-функция, $\mu$ - это массовый масштаб, а $s$ - это константа, связанная с конкретной диаграммой Фейнмана.

Выполнив небольшое $n$ приближение к вышеприведенному уравнению, вы получите выражение типа:

$$\frac{2}{n}-\gamma -\ln\left(\frac{s}{\mu^2}\right) $$

Здесь, в учебниках, таких как «Квантовая теория поля» (Мандл и Шоу, глава 10: Регуляризация, уравнение 10.54), первое слагаемое игнорируется, поскольку оно расходится в пределе, когда $n$ стремится к нулю. $\mu$ заменяется на $m$ - массу электрона, возможно, потому что $\mu$ - это коэффициент масштабирования массы. Кроме того, второй член $\gamma$ пропущен, возможно, потому что он является константой без какого-либо масштабного коэффициента $\mu$ и поэтому не является физическим.

Все это кажется мне особенным. Являются ли эти правила в целом применимыми при размерной регуляризации? Всегда ли $\mu$ заменяется $m$? Все термины типа $\gamma$ отброшены в конце? Могут ли все термины, такие как $\frac{2}{n}$, которые расходятся, всегда игнорироваться?

Другими словами, мне нужна общая процедура, чтобы получить конечный ответ после применения размерной регуляризации. Я знаю, что в размерной регуляризации мы аналитически расширяем функцию от полюсов в комплексной плоскости. Но как мы можем получить конечный ответ в процессе?

1 Ответ

2 голосов
/

Когда речь идет о перенормировке, процедура реабсорбции определенных величин в контртермы кажется немного специальной. Вот некоторые общие рекомендации,

  1. Реабсорбированные члены должны быть локальные , соответствующие локальным контр-терминам (с ограничениями на зависимость от внешнего импульса, например, массовый контр-член должен быть независимым от импульса ). В случае OP повторно поглощенные термины должны быть независимы от $s$.
  2. Бесконечная часть всегда должна быть повторно поглощена. В случае OP, повторно поглощенные термины должны включать $\frac{2}{n}$.
  3. Стоит ли реабсорбировать конечную часть (часть $\gamma$ в случае OP ) это просто вопрос удобства (подробнее об этом ниже), который не имеет никакого физического значения. В этом и заключаются различия между схемами $MS$ и $\bar{MS}$.

Некоторые комментарии по шкале перенормировки $\mu$,

  • Можно утверждать о существовании $\mu$, просто ссылаясь на то, что $x$ в $ln(x)$ должно быть безразмерным. Автономный $ln(s)$ с $s$ размером квадрата массы не имеет никакого смысла, в то время как $ln(\frac{s}{\mu^2})$ является приемлемым.
  • Уравнение ренормализационной группы в том виде, в каком оно представлено в большинстве книг QFT, выражено в виде $\mu$, что является раундом способа выполнения RG с $s$. Например, если мы имеем дело с дифференциальным уравнением для $x(s)$ с начальным условием $x(s)|_{s=\mu^2} = x_0$, решение может быть параметризовано как $x(s, \mu^2, x_0)$. Можно заменить исходное дифференциальное уравнение $dx/ds$ уравнением $dx/d\mu$.
  • Как указано @AccidentalFourierTransform, вы можете заменить $\mu$ на любой другой $\mu'$, который вы хотите, по сути, повторно поглощая дополнительный конечный член формы $ln(\frac{\mu^2}{\mu'^2})$. Как показано в предыдущем пункте, $\mu$ просто устанавливает начальную точку запуска в RG. Разрешается начинать бег с другой начальной точки $\mu'$.
  • Чудо улучшения РГ может быть легко достигнуто с помощью простого пересчета геометрических рядов диаграмм Фейнмана, как минимум, в контексте пертурбативного КТП. Вопрос о том, может ли этот вид возмущающего возобновления быть затемненным как непертурбативный, является спорным вопросом.
Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...