Эффективная пружинная постоянная пружин, расположенных в спирали - физиков.нет
3 голосов
/

Рассмотрим нежесткую спираль, в которой есть несколько равномерно расположенных пружин, параллельных винтовой оси. Пружины соединяют последующие витки в спирали и имеют одинаковую постоянную пружины. Предполагая, что демпфирования нет, какова будет эффективная постоянная пружины системы пружин нетто?

Любые общие идеи будут оценены. (Например, систему следует рассматривать как смесь параллельных / последовательных пружин и т. Д.) Poorly done paint visual of the problem

1 Ответ

2 голосов
/

В общем, к подобным проблемам лучше всего подходить, определяя взаимосвязь между смещением (длиной, на которую распространяется вся система) и потенциальной энергией. Для крюка, прикрепленного к концу мультиспинга, для небольших смещений это будет иметь место (с потенциальной энергией $u$, смещением $x$ и постоянной пружины $k$), $$ U = \frac{1}{2}kx^2, k=\frac{2U}{x^2} $$ Нам гарантировано это соотношение для небольших перемещений, потому что я могу выбрать исходную точку $x=0$ в минимуме $U(x)$, а затем я могу взять расширение второго порядка $U(x)$, отбросить константу, потому что потенциал только в любом случае, с точностью до константы, не имеют линейного члена, потому что я выбрал $x=0$ в качестве критической точки, и у меня останется квадратичный член выше. Теперь, поскольку потенциал аддитивен, все, что мне нужно сделать, это выяснить, как пружины вытянутся, когда я растягиваю систему, и тогда я могу просто применить закон Гука индивидуально к каждому из них.

Я вижу один случай, когда это легко: большая спираль расширяется и сжимается, сохраняя свою спиральную форму. Это может произойти, когда большая нить намного жестче, чем маленькие пружины (чтобы они не сильно ее сгибали), а также когда маленькие пружины находятся прямо друг над другом, так что каждая точка на главной спирали тянется одинаково сверху и ниже. Наконец, это произошло бы в пределе, где маленькие пружины были очень плотными на главной спирали. Во всех этих случаях главная спираль будет простираться как пружина, так что

$$ K = \frac{2}{X^2}\left(\frac{1}{2}k_0X^2+\sum^{N}_{n=1}\frac{1}{2}k_nx_n^2\right) = k_0+\sum^{N}_{n=1}\frac{x_n^2}{X^2}k_n = k_0+k_1\frac{Nx_1^2}{X^2} $$ Где $K$ - это постоянная вращения всей системы, $k_0$ - это постоянная вращения главной спирали, $X$ - общее смещение, $x_n$ - смещение $n$ -ой маленькой пружины и $k_n$ - это постоянная пружины $n$-го малого пружины. Последний шаг был сделан, предполагая, что каждая пружина имеет одинаковую постоянную пружины и что растяжение спирали растягивает их все одинаково. Отношение $Nx_1/X$ является системной константой, которая может быть найдена из геометрии спирали. Задумавшись, мы можем понять, что $x_1/X$ должно быть равно отношению длин основной пружины и малых пружин. Так, если $N$ - это число пружин, $L$ - это длина большой пружины, $l$ - это длина малых пружин, а $k_0$ и $k_1$ - это постоянные пружины большой и маленькие пружины соответственно, тогда объединенная пружина постоянная $K$ должна быть,

$$ K = k_0+k_1\frac{Nl}{L}\frac{l}{L} $$ Следует отметить, что $Nl$ - это общая длина каждой маленькой пружины.

За пределами этого простого случая основная пружина может быть вывернута из своей спиральной формы, что оставляет гораздо более сложную проблему.

...