Почему сила крутящего момента, приложенная к цилиндру с массой $m$ в произвольной точке, равна $F=ma$ окружности? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

На вопрос, который я приложил, я не могу понять одну его часть, и мой друг и учитель, похоже, тоже не могут это объяснить. Я включил решение с моим пониманием того, что происходит.


enter image description here

Крутящий момент, приложенный к телу, равен моменту инерции тела, умноженному на угловое ускорение тела:

$$Fd=I\alpha=\frac{1}{2}MR^2\alpha \ \rm{(eqn 1)}$$

Однако, вот где я запутался:

С $F=Ma$ (из второго закона Ньютона)

$$(Ma)d=\frac{1}{2}MR^2\alpha\ \rm{(eqn 2)}$$

С $\alpha=\frac{a}{r}$

$$M(aR)d=\frac{1}{2}MR^2\alpha\ \rm{(eqn 3)}$$

$$d=\frac{1}{2}R$$


Я запутался в следующем: в решении линейное ускорение преобразуется в угловое ускорение по соотношению $\alpha=\frac{a}{r}$; но это соотношение относится к линейному ускорению в точке, которая находится на расстоянии $r$ от центра масс (так как я считаю, что линейное ускорение отличается в разных точках цилиндра).

И поэтому, когда решение заменяет линейное ускорение $a$ на угловое ускорение $\alpha$, умноженное на радиус $R$ цилиндра в уравнении 3, это означает, что $a$ в $F=ma$ относится к линейное ускорение на окружности, т.е. $a_{\rm circumference}$ (поскольку точка на окружности - это расстояние $R$ от центра масс). Но почему это так? Почему $a_{\rm circumference}$ используется для линейного ускорения приложенной силы вместо линейного ускорения цилиндра в точке $d$ от центра масс, т.е. $a_{\rm d}$ (где сила применяется для обеспечения крутящего момента)?

Если $a_{\rm d}$ используется для замены приложенного усилия на $F=Ma$, то $R$ в левой части уравнения 3 не будет отменено одним из $R$ в правой части уравнения 3 (которое не даст решения)

Ответы [ 3 ]

1 голос
/

Независимо от того, где вы применяете силу, ускорение составляет $F=ma_{CM}$, где CM - центр масс. Условием отсутствия скольжения является то, что скорость внизу равна нулю, поэтому $v=\omega R$, таким образом, скорость в центре отменит скорость внизу, а скорость вверху будет вдвое больше этой скорости мяч катится). То же самое с ускорением: $a=\alpha R$. Также обратите внимание, что ускорение в точке приложения не является даже горизонтальным, потому что цилиндр вращается.

0 голосов
/

Путаница возникает из-за того, что ваша цель - чистое вращение, что означает, что точка контакта не имеет скорости, а скорость центра масс равна $v = \omega r$

pic

Как следствие (поскольку $r$ является постоянным), ускорение центра масс составляет $a = \alpha r $

Таким образом, уравнения движения, разрешенные в центре масс,

$$ \boxed{ \begin{aligned} F & = m (\alpha r) \\ F d &= I \alpha \end{aligned} } $$

Здесь $I = \tfrac{m}{2} r^2$.

, которые используются для решения $\alpha$ и $d$. Ускорение поверхности цилиндра не влияет на решение. Это всего лишь иллюзия, потому что это вращающийся цилиндр , а ускорение центра масс равно поверхностному ускорению вращающегося тела.

0 голосов
/

Уравнения движения (СМ):

Вращение

$\frac{1}{2}\,M\,R^2\ddot{\varphi}=F\,d\quad\quad(1)$

Перевод

$M\,\ddot{x}=F\quad\quad (2)$

$ \Rightarrow$

$\ddot{x}=\frac{F}{M}$

$\ddot{\varphi}=\frac{2\,F\,d}{M\,R^2}$

Рулон без скольжения означает:

$\ddot{x}=R\,\ddot{\varphi}$ $ \Rightarrow$

$\frac{F}{M}=\frac{2\,F\,d}{M\,R^2}\quad\quad (3)$

Мы решаем уравнение (3) для $d$ и получаем:

$d=\frac{1}{2}\,R$

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...