Почему в квантовой теории информации разрешены только унитарные операции? - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
2 голосов
/

В квантовой теории информации любые операции для квантового состояния должны быть унитарными операциями. Зачем нужно это ограничение? Разве мы не можем сделать неунитарную операцию государству? Я знаю, что унитарная операция - это обратимая операция, но я даже не знаю, почему это необходимо.

1 Ответ

3 голосов
/

Зачем нужно это ограничение?

Вот довольно простой способ убедить себя, что это правда:

Применение любого физического действия (вплоть до измерения) к состоянию по существу означает подвергание его определенному гамильтониану $H$ и использование этого гамильтониана для эволюции этого состояния во времени (единственный способ развить состояние во времени нетривиально - это Гамильтониан) через уравнение Шредингера

$$H(t)|\psi(t)\rangle = i\partial_t|\psi(t)\rangle.$$

Решение этого уравнения задается

$$|\psi(t)\rangle=U(t,0)|\psi(0)\rangle,$$

, где $U(t,0)$ - оператор, удовлетворяющий

$$H(t)U(t,0)=i\partial_tU(t,0).$$

Решение этого уравнения хорошо известно и задается так называемым рядом Дайсона

$$U(t,0)=\text{T}\exp\left(-i\int_{0}^{t}H(t')\mathrm{d}t'\right),$$

, где $\text{T}\exp$ представляет упорядоченную по времени экспоненту (подробное обсуждение см. wikipedia ).

Важно отметить, что гамильтониан $H$ является эрмитовым оператором (по аксиомам квантовой механики) и, следовательно, $U(t,0)$ является унитарным оператором. Поскольку любая физическая операция над состоянием действительно соответствует изменению гамильтониана и его использованию для развития состояния, мы видим, что любая операция, применимая к квантовой информации, должна быть унитарной.

Разве мы не можем сделать неунитарную операцию для состояния?

Технически нет, но реально да. Как я только что продемонстрировал, любая операция в государстве, которое развивает его во времени, должна быть унитарной. Однако это только в том случае, если гамильтониан эрмитов. Так что бы значило иметь неэрмитов гамильтониан?

Хорошо, рассмотрим разделение нашей системы (гильбертова пространства) на две подсистемы: внутреннюю систему $\mathcal{H}_{i}$ и среду $\mathcal{H}_{e}$. То есть $\mathcal{H}=\mathcal{H}_{i}\oplus\mathcal{H}_{e}$. Тогда мы знаем, что $H$ является эрмитовым при действии на всю систему $\mathcal{H}$, но мы не гарантируем, что $H$ является эрмитовым при действии только на внутреннюю систему $\mathcal{H}_i$. В частности, если есть некоторое взаимодействие между внутренней системой и средой, состояния во внутренней системе могут «перетекать» в среду. Это эффективно приводит к неэрмитовой форме внутреннего гамильтониана с собственными значениями

$$E_n-i\Gamma_n,$$

ведет к временной эволюции

$$|n(t)\rangle=e^{-iE_nt}e^{-\Gamma t}|n(0)\rangle.$$

То есть собственные состояния во внутренней системе со временем распадаются на окружающую среду. Это эффективно приводит к неунитарной временной эволюции во внутренней системе. Отличная ссылка на этот тип "неэрмитовой квантовой механики" - эта книга Нимрода Моисеева.

Этот эффект для неизолированных систем на самом деле очень важен для квантовой информации, когда вы хотите построить квантовый компьютер. Изоляция окружающей среды для поддержания единства становится огромной проблемой, которая все еще решается.

Надеюсь, это помогло! Если что-то было неясно, просто оставьте комментарий, и я постараюсь объяснить это более подробно.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...