Существование строго временной формы на лоренцевом многообразии - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Я наткнулся в Интернете на следующее упражнение:

Пусть $M$ - это лоренцево многообразие $\dim(M)=n$, а $\psi:\Sigma\to M$ - пространственноподобное подмногообразие размерности $n-2$, вложенное в $M$. Мы будем отождествлять $\psi(\Sigma)\subset M$ с $\Sigma$. Пусть $\gamma:[a,b]\to M$ - нулевая геодезическая с $\gamma(a)=p\in\Sigma$, $\gamma(b)=q\in M\setminus\Sigma$, и $\gamma'(a)\perp T_p\Sigma$. Такая геодезическая будет называться нулевой геодезической, нормальной к $\Sigma$. Затем мы определяем нулевую вторую фундаментальную форму $\chi$ из $\Sigma$ в $p$ относительно $L=\gamma'(a)$ как $$ \chi(X,Y) = \langle \nabla_XY,L\rangle , $$ для $X,Y\in\mathfrak{X}(\Sigma)$. Наконец, точка $r=\gamma(s)$ называется сопряженной с $\Sigma$ вдоль $\gamma$ если существует нетривиальное поле Якоби $X\in\mathfrak{X}^\bot(\gamma)$ вдоль $\gamma$ такое, что $$(i) \ \ \ \ \ \ X(s)=0,$$ $$(ii) \ \ \ \ \ \ X(a)\in T_p\Sigma,$$ а также $$(iii) \ \ \ \ \ \ \langle\nabla_LX,V\rangle=-\chi(X,V), \ \forall V\in T_p\Sigma.$$ В упражнении просят доказать, что если существует точка $\gamma(s)$, сопряженная с $\Sigma$ вдоль $\gamma$ для некоторого $s\in(a,b)$, тогда существует строго подобная времени кривая, соединяющая $\Sigma$ и $q$.

Буду признателен за любые советы, чтобы правильно начать проблему. Интуитивно, это имеет смысл, когда я делаю картину установки, потому что мы можем явно деформировать нулевую геодезическую во времени, но у меня много трудностей, чтобы формализовать мою идею, и я немного пытаюсь понять, почему мы определяем нулевую вторую фундаментальную форму и как я должен ее использовать.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...