Релятивистские столкновения - стационарная цель - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Вопрос

Предположим, что релятивистская частица с массой $M$ и начальный импульс $p_i$ запущены в направлении стационарного электрона с массой $m_e$. После столкновения две частицы движутся в одном направлении с электроном, имеющим импульс $p_e$, и частицей, имеющей импульс $p_f$. Покажите, что кинетическая энергия электрона определяется как $$ T = \dfrac{2 m_e c^6 p_i^2}{m_e^2 c^4 + M^2 c^4 + 2m_e c^2 \sqrt{p_i^2 c^2 + M^2 c^4}} $$

То, что я пробовал ранее, - это записать сохранение импульса и энергии, а именно $p_i = p_e + p_f $ и $E_i = E_e + E_f$ вместе с отношением массовой энергии $ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $ для каждой частицы. В дополнение к этому я отметил, что кинетическая энергия задается $ E = T + mc^2 $, что позволяет нам получить это $ E^2 = T^2 + 2Tmc^2 + m^2 c^4 = p^2 c^2 + m^2 c^4 $, следовательно, $ T^2 + 2Tmc^2 = p^2 c^2$ с соответствующими индексами для каждой частицы. Я не уверен, как исключить $p_e$ и $p_f$, чтобы получить конечный результат в нужной форме, не теряясь в море алгебры. Я слышал о четырех векторах и их приложениях к этим типам задач, хотя мы непосредственно не рассмотрели их в классе, поэтому я не думаю, что это желаемый подход.

1 Ответ

0 голосов
/

Вот возможный маршрут. Давайте начнем с тождеств $$ \begin{align} E_i^2 &= p_i^2c^2 + M^2c^4, \tag{1}\\ E_f^2 &= p_f^2c^2 + M^2c^4, \tag{2}\\ E_e^2 &= p_e^2c^2 + m_e^2c^4 = (T + m_ec^2)^2.\tag{3} \end{align} $$ Сохранение импульса подразумевает $$ p_i = p_e + p_f.\tag{4} $$ Мы можем написать это как $$ p_f = \frac{1-k}{2}p_i,\qquad p_e = \frac{1+k}{2}p_i,\tag{5} $$ для некоторого неизвестного значения $k$. Далее сохранение энергии дает $$ E_i + m_ec^2 = E_f + E_e,\tag{6} $$ или же $$ E_f = E_i - T.\tag{7} $$ Объединение формул (3) и (5), мы получаем $$ 4p_e^2c^2 = p_i^2c^2(1+k)^2 = 4(T^2 + 2m_ec^2T),\tag{8} $$ и комбинируя уравнения. (2) и (5) приводит к $$ 4E_f^2 = p_i^2c^2(1-k)^2 + 4M^2c^4 = 4(E_i - T)^2. \tag{9} $$ Я оставлю тебе остальное. Все, что осталось, это исключить $1+k$ из уравнения. (8). Вы можете сделать это, сначала вычтя (9) из (8), и запишите это как уравнение для $(1+k)$ в терминах $T$. Затем вы можете подключить его обратно в (8), и вы должны получить свой результат.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...