Интерпретация конечного собственного времени быстро ускоряющихся объектов за бесконечное координатное время - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
0 голосов
/

Скажем, у нас есть объект со скоростью в системе Земли, который быстро ускоряется.

Например, предположим, что у нас есть некоторый объект, который ускоряется очень быстро и имеет скорость $v$ в системе Земли в форме

$v(t)=c\sqrt{1-e^{-2t}}$.

Тогда правильное время от земного времени, когда оно начинает ускоряться, $t=0$ до какого-то другого земного времени $t=b$ равно

$\tau (b)=\int_0^b\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}dt=\int_0^b\sqrt{1-\sqrt{1-e^{-2t}}^2}dt=\int_0^be^{-t}dt$

$\tau (b) = 1-e^{-b}$.

И так $\lim_{b\rightarrow \infty}\tau (b)=1$.

В другом примере предположим, что $a$ является некоторой константой, а

$v(t)=c\text{Tanh}(\frac{at}{c})$.

Тогда $\lim_{b\rightarrow\infty}\tau(b)=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}dt=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\sqrt{1-\text{Tanh}(\frac{at}{c})^2}dt=\lim_{b\rightarrow\infty}\int_0^b\text{sech}(\frac{at}{c})dt$

$\lim_{b\rightarrow\infty}\tau(b)=\frac{c\pi}{a}$.

Таким образом, здесь есть несколько случаев, когда физический объект никогда не достигает $c$ в системе Земли, но имеет конечное собственное время для бесконечного координатного времени.

Мне интересно, что именно происходит в кадре объекта в тот момент, когда проходит это надлежащее время и после того, как проходит это надлежащее время?

Ответы [ 2 ]

0 голосов
/

Обратите внимание, что для такой траектории ускорение в ее мгновенном кадре покоя будет расходящимся (как $b\to \infty$), что означает, что никакой физический объект не может двигаться по такой траектории бесконечно, он будет уничтожен бесконечные силы, приложенные к нему. Такая траектория не расширяется за эту точку.

Если мы попытаемся интерпретировать эту ситуацию в контексте общей теории относительности и предположим, что объект конечной массы движется по такой траектории, то импульс, который нужно передать этому объекту, будет расходиться во всех системах отсчета, и если принять во внимание обратную реакцию, любая сила, которая может создать такую ​​траекторию, также создаст особенность истинной кривизны .

Такое поведение можно сравнить с более мягким случаем постоянной правильного ускорения. Хотя полная энергия объекта, подвергающегося такому ускорению, будет расходиться со временем в кадре любого инерционного наблюдателя, в кадре ускоряющего объекта (рама Риндлера) объект будет испытывать только конечные напряжения, и поэтому он может существовать там для всех значения его собственного времени, которые будут расти логарифмически относительно времени инерционных наблюдателей. Если мы включим обратную реакцию во внимание, мы могли бы получить решения GR, такие как C-метрика (см. этот документ для обзора), представляющий конечную массу (черную дыру), испытывающую постоянное собственное ускорение.

0 голосов
/

Вы обнаружили, что в системе покоя ускоряющего наблюдателя есть особенность координат. Действительно, это тесно связано с горизонтом событий в геометрии Шварцшильда, и понимание одного может помочь вам понять другого.

Если мы выполняем преобразование в систему покоя ускоряющего наблюдателя, геометрия пространства-времени в этой системе описывается метрикой Риндлера:

$$ ds^2 = -\left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2 c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \tag{1} $$

, где $a$ - собственное ускорение ускоряющего наблюдателя (обратите внимание, что в этом кадре $a$ отрицательно). Мы возьмем наблюдателя за ускорение в направлении $x$, поэтому $dy=dz=0$. Для светового пучка $ds=0$, поэтому в этой геометрии уравнение движения для светового пучка, движущегося в направлении $x$, получается из (1) путем установки $ds=0$:

$$ \frac{dx}{dt} = \left(1 + \frac{ax}{c^2}\right) c \tag{2} $$

Сравните это с уравнением, которое мы получаем, если мы используем тот же метод для метрики Шварцшильда:

$$ \frac{dr}{dt} = \left(1 - \frac{2GM}{c^2r}\right)^{1/2} c \tag{3} $$

И есть очевидное сходство. Действительно, предположим, что мы берем уравнение (3) и рассматриваем большое $r$, где гравитационное ускорение приблизительно определяется законом Ньютона:

$$ a = -\frac{GM}{r^2} $$

Подставляя это в (3), получаем:

$$ \frac{dr}{dt} \approx \left(1 + \frac{2ar}{c^2}\right)^{1/2} c $$

и затем использование биномиального расширения для аппроксимации квадратного корня дает:

$$ \frac{dr}{dt} \approx \left(1 + \frac{ar}{c^2}\right) c $$

И что удивительно, мы находим ускоряющегося наблюдателя в плоском пространстве, и наблюдатель около черной дыры получает то же уравнение движения для света. В частности, оба наблюдателя находят, что скорость света падает до нуля в определенной точке. Для наблюдателя Шварцшильда это, конечно, горизонт событий в $r_s = 2GM/c^2$, а для ускоряющегося наблюдателя это горизонт Риндлера в $x = c^2/a$.

Как известно, объектам, падающим в черную дыру, требуется бесконечное координатное время, но ограниченное надлежащее время, чтобы достичь горизонта, и мы получаем тот же результат для ускоряющегося наблюдателя. Если ускоряющийся наблюдатель сбрасывает объект, то этому объекту также требуется бесконечная координата, но конечное время, необходимое для достижения горизонта.

Но упавший объект - это, конечно, просто объект, стоящий в плоском пространстве-времени, следящий за ускоряющейся скоростью наблюдателя, поэтому горизонта нет (как и у наблюдателя, свободно падающего в черную дыру, горизонта нет). В обоих случаях сингулярность - это просто место, где преобразование между двумя системами координат становится сингулярным.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...