Существует ли общая релятивистская масса в общей теории относительности? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

В общей теории относительности энергию пробного тела, движущегося в сферически-симметричном гравитационном поле, можно записать в виде:

$$E=mc^2\left(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2\left((1-\frac{2GM}{rc^2})^2(\hat{r}\cdot\hat{v})^2+(1-\frac{2GM}{rc^2})|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}\right).$$

Странная часть состоит в том, что скорость света не одинакова в радиальном направлении, а поперечна радиальному. Чтобы быть точным, я имею в виду скорость в координатном времени и рассматриваю r-параметр решения Шварцшильда как реальное расстояние. Для чисто нерадиального движения приведенное выше выражение становится немного проще:

$$E=mc^2\left(\frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right)}}}\right). $$

Это можно переписать как:

$$E=mc^2\left(\frac{{1-\frac{2GM}{rc^2}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}\right).$$

Для кругового движения у вас есть $v=\sqrt{GM/r}$ как в общей теории относительности, так и в классическом, и заменив $v^2$ на $GM/r$ выше, вы получите выражение, в котором вы обнаружите, что вам нужна бесконечная энергия, чтобы оставаться на круговой орбите радиус сферы фотона и, взяв производную этого выражения по «r», вы найдете самый внутренний стабильный радиус.

Если вы определите $c(r)=c\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}$ и $m(r,v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2\left(1-\frac{2GM}{rc^2})(\hat{r}\cdot\hat{v})^2)+|\hat{r}\times\hat{v}|^2\right)}}}$

, которое для чистого нерадиального движения сводится к: $$m(r,v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}.$$

Вы можете написать: $E=m(r,v)(c(r))^2$

Вопрос: Можете ли вы написать, правильно ли писать, энергия пробной частицы, движущейся в условиях Шварцшильда, в форме $E=m(r,v)(c(r))^2$, как я обрисовал выше?


Есть конкретная причина, по которой я спрашиваю, и это то, что я хочу обобщить закон тяготения Ньютона, написав:

$$\frac{d(m\gamma\bar{v})}{dt}=-\frac{GMm\gamma}{r^2}\hat{r}$$ и когда я использую $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, я могу объяснить только одну треть "аномального сдвига перигелия". Чтобы объяснить все это, я могу использовать $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}}}}$. Если вы сделаете это, вы получите выражение, которое выглядит следующим образом:

$$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(\hat{r}-3\frac{v^2(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^2(1-\frac{2GM}{rc^2})} +\frac{v^4(\hat{r}\cdot\hat{v})\hat{v}}{c^4(1-\frac{2GM}{rc^2})^2}\right)$$.

(Примечание: здесь $\frac{\bar{r}}{r}=\hat{r}$ и $\frac{\bar{v}}{v}=\hat{v}$)

(Правка. Возможно, можно найти ускорение при условии, что производная по времени выражения энергии должна быть равна нулю, учитывая, что выражение для энергии является правильным.)

Результирующие орбиты от использования этого выражения близки к ожидаемым от GR, но не совсем правильные, я думаю, что это можно улучшить. На графике числовых интегрирований с использованием последнего выражения ниже зеленый кружок представляет радиус Шварцшильда, а красный кружок представляет самую внутреннюю устойчивую круговую орбиту.

Orbits closing in and passing the ISCO

1 Ответ

3 голосов
/

В общей теории относительности, если пространство-время имеет подобный времени вектор Киллинга $\xi$ (то есть является стационарным), тестируемые частицы имеют сохраняющееся количество $v^a\xi_a$. Для массивной частицы с соответствующей нормализацией это интерпретируется как энергия. В пространстве-времени Шварцшильда это $(1-2m/r)(dt/d\tau)$, где $\tau$ - правильное время, $m$ - масса черной дыры, а единицы таковы, что $G=c=1$.

В общей теории относительности энергию пробного тела, движущегося в сферически-симметричном гравитационном поле, можно записать в виде: [...]

Я не уверен, что вы подразумеваете под этим. По теореме Биркгофа сферически-симметричное пространство-время вакуума должно быть Шварцшильдом. Если это именно то, что вы имеете в виду, то я поверю вам на слово, что чрезвычайно сложное выражение, которое вы даете, эквивалентно стандартному способу его выражения, для $r>2m$. Это выглядит неправильно для $r\le 2m$, потому что ваши квадратные корни становятся воображаемыми, хотя я полагаю, что аналитическое продолжение делает его эквивалентным правильному выражению. (Кстати, вы можете сделать себе одолжение, работая в системе единиц, где вам не нужно писать все факторы $G$ и $c$.)

Если быть точным, я имею в виду скорость в координатное время [...]

Имеется в виду ваш $v=dr/dt$? Это вряд ли имеет смысл для $r<2m$</span>, где $r$ - это координата времени, а $t$ - пространственная.

Странная часть состоит в том, что скорость света не одинакова в радиальном направлении, а поперечна радиальному.

Не правда. Скорость света одинакова во всех направлениях. Скорость координат отличается, но скорости координат не имеют физического значения.

Можете ли вы написать, правильно ли писать, что энергия пробной частицы, движущейся в условиях Шварцшильда, имеет вид E = m (r, v) (c (r)) 2, как я обрисовал выше?

Я не проверял вашу алгебру, но если ваша алгебра верна, то ничто не помешает вам написать это таким образом. Но представление о том, что $c$ зависит от $r$, вряд ли может вас заинтересовать. В разумной системе единиц, $c=1$.

Есть конкретная причина, по которой я спрашиваю, и это то, что я хочу обобщить закон тяготения Ньютона, написав:

Вы не можете получить общую относительность, играя с формой закона тяготения Ньютона. Закон тяготения Ньютона описывает мгновенное действие на расстоянии, что невозможно в теории относительности. Какова ваша цель здесь? Вы ищете постньютоновское приближение, работающее в пределе слабого поля, для пространства-времени Шварцшильда?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...