Значения магнитного квантового числа и момента импульса - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Что побуждает значения магнитного квантового числа $m_l$ принимать значения $ -l, -l+1, \cdots , l $, где $l$ - число угловых моментов? Лестничные операторы для углового момента действительно подразумевают, что некоторое значение $a\hbar$ является собственным значением $L_z$, тогда как и $(a\pm 1)\hbar$, если предельные значения не достигнуты. Некоторое ограничение на эти предельные значения можно найти, если учесть, что $\langle L^2\rangle \geq \langle L_z\rangle$; то есть величина $m_l$ ограничена $\sqrt{l(l+1)}$. Однако ни одно из этих соображений не исключает возможности наличия у $L_z$ промежуточных собственных значений, а также целочисленных шагов приращения, предложенных лестничными операторами. Они также не мотивируют, почему $l$ является интегральным и почему максимальные значения $m_l$ были получены $l$, а не, скажем, $\sqrt{l(l+1)}$ точно.

1 Ответ

1 голос
/

Это происходит из-за коммутатора между $L_z$ и $L_{\pm}$.

$$[L_z,L_{\pm}]=\pm\hbar L_{\pm}\tag{1}$$

Вышесказанное можно легко показать из алгебры углового момента $[L_i,L_j]=\epsilon_{ijk}L_jL_k$ и из определения $L_{\pm}$ операторов (то есть $L_{\pm}=L_x\pm iL_y$).

Вот как можно сделать вывод о $\hbar$ разделенном спектре $L_z$:

Пусть $|l,m_{l}\rangle$ - собственная диаграмма $L_z$ с собственным значением $m_l\hbar$. Можно использовать (1), чтобы показать, что $L_{\pm}|l,m_{l}\rangle$ - это также собственная диаграмма $L_z$.

$$L_z(L_{\pm}|l,m_l\rangle)=\underbrace{(L_zL_{\pm}-L_{\pm}L_z)}_{\pm \hbar L_{\pm}}|l,m_l\rangle +L_{\pm}\underbrace{L_z|l,m_l\rangle}_{m_l|l,m_l\rangle}=(m_l\pm \hbar)L_{\pm}|l,m_l\rangle$$

Таким образом, мы находим, что $L_{\pm}$ создает лестницу собственных состояний для $L_{z}$, где разделение по ступенькам равно $\hbar$. Далее можно показать, что существует нижняя ступенька и верхняя ступенька, и поэтому они ограничены.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...