Меняется ли среднее значение? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Мы знаем, что $x_0$ и $p_0$ - это средние значения для положения и импульса частицы в нормализованном состоянии, характеризуемые функцией $\psi (x)$ (то есть $x_0=\langle x \rangle_\psi$ и $p_0=\langle p \rangle_\psi$).

Изменилось ли среднее значение $x$ для функции $\psi(x+x_0)$?

Если среднее значение x для функции $\psi(x)$ равно:

$$\langle x \rangle_\psi=\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast (x)\; x\; \psi(x) dx=x_0$$

Среднее значение x для функции $\psi(x+x_0)$:

$$\langle x \rangle_{\psi' }=\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x+x_0)\; x\; \psi(x+x_0) dx$$

Если мы центрируем функцию в $x=x_0$, мы получим:

$$\langle x \rangle_{\psi' }=\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x)\; (x-x_0)\; \psi(x) dx$$

Тогда

$$\langle x \rangle_{\psi' }=\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x)\; x\;\psi(x)dx -\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x)\;x_0\; \psi(x) dx$$

Если первый интеграл равен $\langle x \rangle_\psi$, а второй, то мы знаем, что

$$\int_{-\infty}^\infty \psi^\ast(x)\psi(x) dx=1$$

Потому что это нормализовано, поэтому:

$$\langle x \rangle_{\psi' }= \langle x \rangle_\psi -x_0$$

Где $\langle x \rangle_\psi=x_0$, затем:

$$\langle x \rangle_{\psi' }=0$$

Это правильно?

Если это так, каково будет среднее значение для $p$ с $\psi(x+x_0)$?

Ответы [ 2 ]

2 голосов
/

Ваш результат верный. У вас есть функция $\psi(x)$ со средним значением $x_0$. Таким образом, функция $\psi(x+x_0)$ является исходной функцией, смещенной на величину $|x_0|$ в сторону $x=0$. Но тогда это означает (каламбур всегда предназначен), что ваше новое среднее значение должно быть на $x=0$. Как уже отмечали другие, это работает только для интеграла от $-\infty$ до $\infty$. В общем, если вы находите среднее значение чего-либо за конечный интервал, вам также придется смещать свой интервал (есть некоторые искусственные исключения из этого, но я не буду вдаваться в них здесь).

Что касается среднего импульса, я думаю, что ничего не изменится, если ваша система имеет трансляционную инвариантность, но @kryomaxim, похоже, считает, что это имеет значение в целом. Я не думаю, что правильный оператор импульса будет включать $\frac{\partial}{\partial(x+x_0)}$, потому что вы все еще работаете в исходной позиции. Многие аргументы в учебниках по QM, которые я видел, используют тот факт, что мы можем центрировать волновую функцию так, чтобы $\langle X\rangle=0$ не изменял средний импульс. Поэтому я считаю, что смещение волновой функции в новое положение не изменит среднего импульса, если в системе существует трансляционная инвариантность.

0 голосов
/

Если у вас есть интеграл за интервал $[-\infty, \infty]$, да, это правильно.

Волновая функция $\psi'$ просто смещается на $-x_0$, поэтому значение ожидания позиции действительно меняет именно эту величину. Обратите внимание, что для конечных интервалов также изменяются конечные точки интеграции.

Для вычисления ожидаемого значения $p$ используйте определение оператора импульса и используйте тот факт, что $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial (x+x_0)}$.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...