Объяснение пружины по «закону движения Артистотеля», $\vec{F}=m\vec{v}$ - физиков.нет
Винтажный Клуб для гитаристов
1 голос
/

Итак, я смотрел лекции Сасскинда по классической механике и ничего не понял во второй лекции .

Он рассказывал о законе движения Аристотеля, который $$\vec F = m\vec v.$$

Он применил этот закон к системе пружинных блоков и получил эту функцию положения.

$$x(t)=x(0)\cdot e^{-\tfrac{k}{m}t}.$$

Затем он сказал, что этот закон недействителен в классической механике, поскольку он не помогает нам предсказывать прошлое, потому что через некоторое время частица просто будет стоять в начале координат, и предсказать, откуда она началась, невозможно с конечной точностью. измерения.

Это то, чего я не понял. Существует много таких законов, таких как, например, затухающее гармоническое движение, которое состоит из экспоненциального затухания. Они также не действительны?

1 Ответ

1 голос
/

Уравнение $F = m v$ не является симметричным по времени, т. Е. Изменение знака $t$ дает другое уравнение из-за появления скорости. Уравнение $F = m a$ является вторым порядком в $t$, поэтому оно не изменяется при инверсии времени $t \Rightarrow -\, t$, но только в том случае, если левый элемент ($F$) не содержит членов, зависящих от скорости (например, трения) , Если есть трение, то $F$ содержит несимметричный термин при инверсии времени. Трение подразумевает потерю информации.

Если у вас строгое экспоненциальное демпфирование: $x(t) = x_0 \, e^{- \lambda t}$, то измерение положения и скорости в момент времени $t_1$ дает следующую систему уравнений: \begin{align} x_1 &= x_0 \, e^{- \lambda t_1}, \tag{1} \\[12pt] v_1 &= -\, \lambda \, x_1. \tag{2} \end{align} Затем вы знаете $x_1$ и $v_1$ (так что вы знаете $\lambda$ из (2)), но вы не знаете время $t_1$ и хотите ретродикать исходную позицию $x_0$ (во время $t_0 = 0$) , Уравнение (1) дает вам только одно уравнение для двух неизвестных. Вам нужно больше информации, чтобы ретродикать прошлое. Повторное измерение положения и скорости в момент времени $t_2$ дает два новых уравнения: \begin{align} x_2 &= x_0 \, e^{- \lambda t_2}, \tag{3} \\[12pt] v_2 &= -\, \lambda \, x_2. \tag{4} \end{align} Уравнение (4) бесполезно. Объединение (1) и (3) дает это, где $\Delta t = t_2 - t_1$ известно: \begin{equation}\tag{5} x_2 = x_0 \, e^{- \lambda (t_1 \,+\, \Delta t)} = x_1 \, e^{- \lambda \, \Delta t}, \end{equation} так что здесь нет ничего нового, и вы не можете найти $x_0$!

Другими словами: чисто экспоненциальная функция не имеет памяти ! Этот факт очень важен для радиоактивного распада и для статистической теории.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...