Сложная путаница алгебр Ли - физиков.нет
Купить гитару в Москве
7 голосов
/

Я изучал курс по алгебрам Ли в физике элементарных частиц, и я никогда не мог понять, как усложнение помогает нам понять оригинальную алгебру Ли.

Например, рассмотрим $\mathfrak{su}(2)$: я усложняю это, чтобы дать мне $\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$, что позволяет мне формировать базис Картана-Вейля из лестничных операторов и подалгебру Картана, чтобы я мог генерировать представления с наибольшим весом. Это хорошо, но это представления $\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$, а не $\mathfrak{su}(2)$, потому что мы не можем сформировать базис Картана-Вейля, если не усложним. Так как же это помогает нам создавать представления $\mathfrak{su}(2)$?

Во всей физике элементарных частиц мы говорим о частицах, живущих в представлениях определенных алгебр Ли, но на самом деле должны ли они на самом деле жить в комплексах из них? то есть мы говорим о спинорах группы Лоренца, но способ их преодоления заключается в комплексизации алгебры Ли $\mathfrak{so}(3,1)$ так, чтобы она разлагалась как

$$\mathfrak{so}(3,1)_\mathbb{C}=\mathfrak{su}(2)_\mathbb{C} \oplus \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}.$$

В этот момент я могу пометить представления как $(A,B)$, где $A,B$ помечает самые высокие веса двух подалгебр, и я бы сказал, что левые спиноры живут в $(1/2,0)$, а правши в $(0,1/2)$. Но опять же, это комплексные алгебры Ли. Как это говорит мне о том, что спиноры существуют по отношению к реальной группе Лоренца, той, которую использует вселенная.

В итоге мои вопросы:

  1. Как комплексирование алгебры Ли $\mathfrak{g}$ до $\mathfrak{g}_\mathbb{C}$ помогает мне обнаружить представления $\mathfrak{g}$, когда метод наибольшего веса работает только с комплексными алгебрами Ли?

  2. Откуда мне знать, что вещи, которые я обнаруживаю после комплексирования, такие как спиноры и мультиплеты частиц, действительны по отношению к оригинальной алгебре Ли? то есть мы живем во вселенной, где преобразования Лоренца действительно НЕ сложны, так как же мы можем обнаружить спиноры без комплексизации нашей алгебры Лоренца?

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...