Парадокс о каноническом преобразовании, сохраняющем скобку Пуассона? - физиков.нет
Купить гитару в Москве
1 голос
/

Пусть $q,p$ обозначает позицию и импульс. Рассмотрим преобразование, сгенерированное $g$:

$q' = q + \epsilon \{q,g\}---(1a)$

$p' = p + \epsilon \{p,g\}---(1b)$

Тогда:

$\{q',p'\} = \{q,p\}+o(\epsilon^2)+\epsilon \{\{q,g\},p\}+\epsilon \{q,\{p,g\}\}$

Последние два условия исчезают с тех пор:

$\{p,\{g,p\}\}+\{q,\{p,g\}\} = -\{g,\{q,p\}\}$

А $\{g,\{q,p\}\} = \{g,1\} = 0$

Следовательно, это преобразование, генерируемое $g$, действительно является каноническим преобразованием.

В приведенном выше уравнении мы используем тот факт, что $\{q,p\}=1$. Однако в общем случае это не так, если $p,q$ обозначает некоторую другую переменную с непостоянным коммутатором. В этих случаях коммутатор не сохраняется!:

$\{q',p'\} \ne \{q,p\}---(2)$

Но мы уже знаем, что (1a) и (1, b) являются каноническим преобразованием, что должно означать, что каждый коммутатор должен сохраняться, даже если $q,p$ не являются положением и импульсом, что противоречит (2)! *

Что здесь происходит ?? Это проблема, вызванная старшим членом $o(\epsilon^2)$?

1 Ответ

1 голос
/

В общем, конечный симплектоморфизм формально имеет форму

$$ f~~\mapsto ~~f^{\prime} ~=~e^{-\varepsilon \{g,\cdot\}}f ~=~ f- \varepsilon \{g,f\} + \frac{\varepsilon^2}{2} \{g,\{g,f\}\} +o(\varepsilon^3),\tag{A}$$ где $f=f(q,p,t)$ и $g=g(q,p,t)$ - функции. Можно использовать тождество Якоби , чтобы доказать, что конечное преобразование (A) учитывает скобку Пуассона : $$ e^{-\varepsilon \{g,\cdot\}}\{f_1,f_2\}~=~\{e^{-\varepsilon \{g,\cdot\}}f_1,e^{-\varepsilon \{g,\cdot\}}f_2\} .\tag{B}$$ Возвращаясь к вопросу ОП: Если скобка Пуассона $\{f_1,f_2\}$ не является константой, она может преобразоваться.

Добро пожаловать на сайт физиков.нет, где вы можете задавать вопросы и получать ответы от других членов сообщества.
...